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(X, Y) déterminent un plan horizontal; et de même (Y, Z), 
(Z, U), ete. Comme on ne peut mener suivant une horizontale 
Y qu’un seul plan horizontal, tous ces derniers côtés sont dans 
un même plan horizontal ou parallèle au plan P ; de plus, le pen- 
tagone X, Y.. ou D'E’A'B'C' est régulier, puisque l’angle plan 
D'E'A' est égal à chaque angle dans P. 
Le solide fermé en haut par le plan (X, Y...) est donc composé 
de douze faces pentagonales égales et se nomme dodécaèdre ré- 
gulier qu’on peut, pour abréger, désigner par (D, D) : il a vingt 
sommets et trente arêtes, et comme chaque face peut à son tour 
servir de base de construction, il s’ensuit que les faces sont deux 
à deux dans des plans parallèles; ainsi chaque face a sa face cor- 
respondante où opposée , située dans un plan parallèle au sien, de 
même que chaque arête a sa correspondante parallèle, mais diri- 
gée en un sens contraire. 
$ IL. — Des plans el axes de symétrie directe du dodécaèdre. 
Je reprends par le sommet B et par le plan bissecteur normal de 
l'angle ABC de la face qui sert de base. En vertu de ce qui a été 
dit, ce plan doit renfermer l’arête BP ; il divise done aussi l’angle 
dièdre suivant BP en deux également, ainsi que l’angle OPF; il se 
dirige, par conséquent, normalement au milieu du côté X = D’E", 
et sa trace sur le plan de la face horizontale supérieure doit passer 
par le sommet B’, opposé au côté X, de sorte que cette ligne est 
bissectrice de l’angle en B', ou un axe de symétrie directe de Ja 
face supérieure, tandis que la trace du plan bissecteur sur la face 
inférieure forme un axe de ce genre pour cette dernière. On peut 
conclure de là que tout bissecteur normal d’une face quelconque 
partant, par exemple , de B coupe la surface convexe du solide 
suivant un hexagone qui a ses côtés opposés parallèles, deux de 
ces côtés opposés étant égaux à l’arête BP du solide, et les quatre 
autres, opposés deux à deux, étant égaux à la bissectrice pentago- 
male tirée d’un sommet quelconque B au milieu du côté opposé 
DE de la face. ( 
Cette bissectrice, où plutôt la longueur D de l'axe de symétrie 
