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arêtes, il doit renfermer la droite BB’. Par la même raison, cette 
droite est dans le bissecteur suivant les arêtes BC, B'C’ et dans 
celui des lignes BA, B'A’. 
Il résulte de là et de ce que l'intersection de deux plans de symé- 
trie est, par définition, un axe de symétrie, que toute droite qui 
joint deux sommets opposés dans le solide (D, D), en est un axe 
de symétrie directe ; et comme il y a vingt sommets, ou dix cou- 
ples de sommets opposés, il doit y avoir dix axes de symétrie d’un 
premier genre. Ensuite chaque bissectrice d’une face pentagonale 
. et celle de son opposée donnant un plan de symétrie, il devient 
clair que einq de ces plans se coupent toujours suivant une même 
droite perpendiculaire au centre de la même face et de son op- 
posée : c'est ce qui produit six axes de symétrie de second genre 
perpendiculaires aux plans des douze faces, prises deux à deux et 
passant par les centres de celles-ci. 
Si l’on considère, en troisième lieu, que tout plan bissecteur 
renferme deux arêtes opposées et se trouve perpendiculaire aux 
milieux de deux autres encore opposées, on voit que la ligne 
droite, déterminée par les milieux de deux arêtes parallèles, peut 
être considérée comme intersection de deux plans rectangles, et 
qu’elle est, par conséquent, un axe de symétrie; ce qui produit, 
en vertu du nombre 30 d’arètes, quinze lignes de symétrie de troi- 
sième. genre : ce sont les droites qui joignent les milieux des arêtes 
opposées dans le solide. 
Comme le plan bissecteur, suivant l’arête BP, est perpendiculaire 
aux milieux des côtés (ED, E’D'} et que chacun de ceux-ci croise, 
par conséquent, à angles droits l’arête BP et son opposée, la figure 
formée par ces deux côtés, savoir ED, D'E', doit être un rectangle; 
car la droite des milieux de ED, D'E’ est dans le plan bissecteur 
suivant BP, partant à angle droit avec chaque côté; donc les côtés 
D'E, E’D, sont aussi à angle droit avec ED, D’E'’. On doit remar- 
quer que les lettres D’, E’, qui marquent les extrémités des côtés X, 
sont placées de manière que les droites DD’, EE’ soient les diago- 
nales du rectangle. Comme le plan (ED, D’E') est aussi bissecteur , 
puisqu'il renferme deux arêtes opposées, il doit être normal aux 
milieux des arêtes (GH, MN), lesquelles croisent, par conséquent, 
à angle droit celles DE, ED”. 
