( 24 ) 
de ABC. Du point a, avec un rayon égal au côté AB, je décris un 
arc, et du point b, avec un rayon ab, j'en décris un second qui 
coupe le premier au point a’. Par a’ je tire une horizontale et 
je mène par a une parallèle à ba’, ce qui donne le quatrième 
sommet b d’un losange. Je projette b’ en B’ et a’ en C’, À’ : la 
projection horizontale des six sommets sera A, C’, B, À’ C, B’, et, 
sur le vertical, elle sera aux sommets a, b, a’, b’. 
Les douze arêtes se projettent verticalement sur les côtés et 
sur la diagonale aa’ du losange. 
Sur le plan horizontal, les six sommets tombent sur une même 
circonférence. 
S VIL 
La proposition fondamentale, admise depuis Euler par une vague 
induction, et tout au plus évidente pour les cas de l’hexaëèdre et 
de l’octaèdre régulier, se trouve donc finalement démontrée pour 
les trois autres solides, et je pourrais, par conséquent, m’arrêter 
pour le moment; mais la considération des solides (D, D) et (FE, C) 
m'a conduit à une question curieuse, quoique connue et dont on 
n’a donné jusqu’à ce jour qu’une solution incomplète. 
Déterminer la grandeur et la position de douze sphères égales, 
toutes tangentes à une même sphère centrale (x’) et dont chacune 
soit tangente à cinq des onze sphères restantes. 
L'idée et la solution du problème résultent de la construction du 
dodécaèdre, et comme le nombre de faces est 4, 6, 8, 12 et 20 dans 
les cinq solides réguliers, et que chaque face est un triangle ou un 
pentagone, il en résulte que chaque solide fournit l'énoncé et la 
solution d’une question analogue. 
Pour le tétraèdre, chaque sphère partielle devrait toucher les 
trois sphères restantes; pour l’hexaèdre, elle toucherait quatre des 
sphères restantes, et leur nombre serait six. 
Pour l’octaèdre, chaque sphère partielle serait tangente à trois 
des sept sphères restantes. 
Pour l’icosaèdre, il y aurait vingt jrs. partielles, chacune 
tangente à trois des dix-neuf restantes. 
