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d'où il résulte aussi que DC marque le rayon du cerele inscrit à 
la face. 
Comme les douze sphères doivent toucher (r') aux centres des 
faces, il est clair que les centres des deux premières sont ou sur 
OC, OE prolongés, ou qu'ils tombent à la fois sur ces rayons mêmes; 
et comme elles doivent se toucher entre elles, on aura U, V mar- 
quant les centres et X leur rayon UC — VE — 
r'Ex:9x—=7r:CE—7r :97r. cos à C 
et 
n = 1,1085. r” et 0,3446. r” 
c=(V5—evr + En. 
Pour le cas de l’icosaëdre , on trouve 
257. V6(5—5V5 +or. (7—5V5) 
— 0,820. r’ et 0,528. r’. environ. 
Mais si les dodécaèdre et icosaèdre donnent la solution pour 12 
et 20 sphères partielles, les trois autres solides doivent la donner 
pour les nombres 4, 6, 8; de sorte que la solution subsiste par les 
nombres de sphères : 
4, 6, 8, 12 et 20. 
Le Dictionnaire mathématique de Kluegel ne traite que les cas 
de 4, 6, 12, ce qui est incomplet, et cette lacune provient de ce 
que l’auteur part de l’idée trop restreinte de partager la sphère 
en parties triangulaires seulement et sans faire intervenir la con- 
sidération des polyèdres réguliers. 
On ne saurait trouver de nouvelles réf en employant les 
sommets au lieu des faces; car, dans les cas de 12 et 20, les nom- 
bres des faces et sommets s’échangent du dédocaèdre à l’icosaèdre. 
Dans le tétraèdre, il y a autant de sommets que de faces, et 
