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ANALYSK MATHMATIQUE. Nots sur V valuation approche du pro- 

 duit i .ol .?)... X ; par M. Liouville (*). 



I . La mthode dont je me servirai ressemble beaucoup celle employe 

 par M. Ijacroix, dans son Trait lmentaire du Calcul diffrentiel et du 

 Calcul intgral (page 678 de la 5' dition). Cette mthode consiste cher- 

 cher le logarithme du produit 1. 2. 3... x, et elle repose sur la formule 

 connue de Wallis 



a- 3244 X 7.x 



2 I 3 ' 3 ' 5 * ' ' * 2x I ' 20;+ 1 



en vertu de laquelle la quantit 



2 log 2 + 2 log 4 + + 2 log (2x 2) + log (2J?) 



2 log I 1 log 3 2log(2X 3) 2 log (ax 1) 



se rduit log'^ log 1 lorsque a? = co . Mais je la complterai en .don- 

 nant une limite suprieure de l'erreur commise dans l'valuation appro- 

 che de log~(i. 2. 3. .. .ar). 



2. Pour toute valeur positive de z, on a 



il m it'iui; v.i) , /loo 



-= f e-~"doi, 



z J o ' 



d'o rsulte, en intgrant par rapport z, 



Faisantsuccessivementjdanscetteformule, z= i,z = 2, z=x, 



puis ajoutant les rsultats ainsi obtenus , il nous viendra 



(2) ; log (1. 2. 3... X) =/r'-^'(-^- ,'I,'-r ) 



Amsi la question est ramene trouver la valeur de l'intgrale dfinie 

 place dans le second membre de l'quation (2). Reprsentons cette in- 

 tgrale par M et traitons x comme une variable continue. En diffrenciant 

 nous obtiendrons ^" " '. ' ' ' 



J o \ e" I / 



du /"oo dct /. 



dx 



(*) M. Binet a trait la mme question par une mthode diffrente dont il a bien 

 voulu me communiquer, il y a dj long-temps, les rsultats. Un extrait de son M- 

 moire a t publi dans un des derniers Comptes rendus. 



