( ..56 ) 



MMOIRES PRSENTS. 



Note sur l'expression du logarithme de l'intgrale eulrienne T(p) ; par 

 M. BiNET. (Voir le Compte rendu de la sance du i*' juillet. ) 



Soit r(^) = f^ zo-'dze-' z= f\ Ixf-'dx, et log r(p) = A(p); la 



i/o (/ O 



proprit T{p-\r i)z=pT (p) fournit l'quation logarithmique 

 A(p+ i) A(/j) = log(/j), ou bien A.X(p) = lp. 



j^ dx; ainsi A^.(p) = j j- dx; diffren- 



j- ^^ = J j^ ^i/a:;diffrentiant 



J dx , etc. ; et par une analogie d'Eu- 



ler et de Lagrange (voyez le Calcul des diffrences de M. Lacroix , p. 69), 



^^ = AA(/,)-^AA(p) + iA'A(p)-etc.^ 

 on aura donc 



A(p)=//,+j^_^-( -+-^ + -^+etc.). 

 Sous le signe / on reconnat que la srie 



7^ (^ + ^- + '0 = ^^^^^^ 

 et l'on aura aussi 



Si l'on mettait ici pour l(p) sa valeur en intgrale dfinie, on formerait 



l'expression A'(/j)= J^ (^ + .^-.^dx, donne par M. Gauss. Cette 



quation tant intgre par dp donnerait la formule que M. Liouville a 

 forme de son ct , pour la somme des logarithmes des nombres en - 

 tiers (vojez page io4 de ce volume). Mais, pour notre objet, il convient 

 de lui conserver sa premire forme, qui permet d'en oprer l'valuation 

 de plusieurs manires que nous avons indiques dans le Mmoire. Nous 

 allons en employer une qui conduit promptement la valeur de A(/>). 

 On dveloppera la fonction i x + /a: sous le signe /, selon les puis- 



