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 fisait d'appliquer au dveloppement de la fonction, dsigne par R dan 

 la Mcanique cleste, des thormes bien connus tels que le thorme de 

 Taylor et le thorme de Lagrange sur le dveloppement des fonctions des 

 racines d'quations algbriques ou transcendantes. Mais il tait ncessaire 

 de recourir d'autres principes et de nouvelles mthodes pour obtenir 

 des rsultats plus importants, que je vais rappeler en peu de mots. 



En joignant la srie de Maclaurin le reste qui la con^plte, et pr- 

 sentant ce reste sous la forme que Lagrange lui a donne, ou sous d'au- 

 tres formes du mme genre, on peut s'assurer, dans un grand nombre de 

 cas, qu'une fonction explicite d'une seule variable est dveloppable, 

 pour certaines valeurs de x, en une srie convergente ordonne suivant 

 les puissances ascendantes de cette variable, et dterminer la limite sup- 

 rieure des modules des valeurs relles ou imaginaires de x, pour lesquels "^^^ 

 le dveloppement subsiste. De plus, la thorie du dveloppement des fonc- 

 tions explicites de plusieurs variables peut tre aisment ramene la 

 thorie du dveloppement des fonctions explicites d'une seule variable. 

 Mais il importe d'observer que l'application des rgles l'aide desquelles 

 on peut dcider si la srie de Maclaurin est convergente ou divergente, . ;, 

 devient souvent trs difficile, attendu que dans celte srie le terme g- 

 nral, ou proportionnel la n""" puissance de la variable, renferme la 

 drive de l'ordre n de la fonction explicite donne, ou du moins la 

 valeur de cette drive qui correspond une valeur nulle de -x, et que, 

 hormis certains cas particuliers , la drive de l'ordre n prend une foruie 

 de plus en plus complique mesure que n augmente. 



Quant aux fonctions implicites, on avait prsent, pour leurs dve- 

 loppements en sries, diverses formules dduites le plus souvent de la m- 

 thode des coefficients indtermins. Mais les dmonstrations qu'on avait 

 donnes de ces formules taient gnralement insuffisantes, i" parce qu'on 

 n'examinait pas d'ordinaire si les sries taient convergentes ou diver- 

 gentes, et qu'en consquence on ne pouvait dire le plus souvent dans 

 quels cas les formules devaient tre admises ou rejetes; a" parce qu'on 

 ne s'tait point attach dmontrer que les dveloppements obtenus 

 avaient pour sommes les fonctions dveloppes, et qu'il peut arriver 

 qu'une srie convergente provienne du dveloppcmer}t d'une fonction 

 sans que la somme de la srie soit quivalente la fonction elle-mme. Il 

 est vrai que l'tablissement de rgles gnrales propres dterminer dans 

 quels cas les dveloppements des fonctions implicites sont convergents, 

 et reprsentent ces mmes fonctions, paraissaient offrir de grandes difficul- 



C. R. i839, 1' Semestre. (T. IX, K 6.) 



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