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tion relle ou imaginaire de a? sera dveloppable en une srie convergente 

 ordonne suivant les puissances ascendantes de .x, tant que le module de x 

 conservera une valeur infrieure la plus petite de celles pour lesquelles ' 

 la fonction ou sa drive cesse d'tre finie et continue. # " IP 



Dmonstration. Soit 



une fonction donne de la variable x. Si l'on attribue cette variable une 



valeur imaginaire x dont le module soit X et l'argument/?, en sorte qu'on * 



ait 



x = \eP^-\ 

 on aura identiquement 



(O df{x)^_\ dfx) 



^ ' dX XV/ I dp ' . ^ 



Supposons maintenant que l'on intgre les deux membres de l'quation (i), 

 1 par rapport X et partir de X = o; 2 par rapport p entre les li- 

 mites p= TT , p = 7r. Si la fonction de X et de />, reprsente par 

 f(x), reste avec sa drivey'(jr), finie et continue, quel que soit p, pour 

 la valeur attribue X, et pour une valeur plus petite, on trouvera 



(2) f__J\x)dpz=:'X7rJ{o). 



Si, de plus, la fonction^ (j?) s'vanouit avec Xy l'quation (2) donnera 

 simplement 



(3) f_^ f{x) dp = o. 



Enfin , si , dans la formule (3) on remplace f [x) par le produit 



X X 



X tant diffrent de .r , et le module de x infrieur X, on en conclura 



J ^x X " '"X X "^ ir \ XX ' 



et par suite ,^ 



I/quation (4) suppose, comme les quations (a) et (3), que la fonction 

 deXetde/, reprsente ^zvf{oc), reste, avec sa drive _/"' (a?) , finie et 



a6.. 



