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continue , poar la valeuir attribue X et pour des valeurs plus petites 

 D'ail! euM , comme le rapport 



est la somme de la progression gomtrique 



jr' 



T,=, ^,etc, ... 



qui demeure convergente tant que le module de x reste infrieur au mo- 

 dule X de x; il suit de la formule (4) que 



sera dveloppable en une sj'ie convergente ordonne suivant les puis- 

 sances ascendantes de a:, si le module de la variable relle ou imaginaire ar, 

 conserve une valeur infrieure la plus petite de celles pour lesquelles 

 la fonctions f{x) et sa drive /'(j) cessent d'tre finies et continues. 

 .,,;; Ainsi, en particulier, puisque les fonctions 



cos ce, sin a-, e', e^% cos ( i x*),etc.,... 



et leurs drives du premier ordre ne cessent jamais d'tre finies et conti- 

 nus, elles seront toujours dveloppables en sries convergentes ordonnes 

 suivant les puissances ascendantes de x. Au contraire , les fonctions 



I 



I 



[i+Xj-^, - -, - , ; -, log(i-|-j?), arctanga:, etc.,.. 



qui , lorsqu'on attribue x une valeur imaginaire de la forme 



Xe''*^'^^, 



cessent d'tre, avec leurs drives du premier ordre, fonctions continues 

 de X, au moment o le module X devient gala i, seront certainement 

 dveloppables en sries convergentes ordonnes suivant les puissances 

 ascendantes de la variable x , si la valeur relle ou imaginaire de x offre 

 un module infrieur l'unit ; mais elles pourront devenir et deviendront 

 en effet divergentes, si le module de x surpasse l'unit. Enfin, comme le 



fonctions 



1 I 



*, e^ , cos -, etc . . . 



X 



deviennent discontinues avec leurs drives du premier ordre pour une 

 valeur nulle de x ^ par consquent lorsque le module de x est le plus petit 



