( t89 ) 



possible , elles ne seront jamais dveloppables en sries convergentes or- 

 donnes suivant les puissances ascendantes de x. 



Nota. La dmonstration prcdente du thorme nonc suppose que, ' 

 si les conditions indiques dans ce thorme sont remplies, l'quation (i) 

 entranera toujours l'quation (2). Or c'est ce dont on ne saurait douter. 

 En effet, admettons que le module X de jr conserve une valeur infrieure 

 la plus petite de celles pour lesquelles la fonction f(x) et sa dri- 

 ve /"' (x) restent finies et continues. Pour une telle valeur de X, la 

 valeur commune des deux membres de la formule (t), savoir 



restera finie et dtermine; et l'on pourra en dire autant des fonctions 

 relles 



X(X, p) = -i=[/^^/<X/V/^0 - -"^^^/'Cxe-"/^')], 

 par consquent des intgrales doubles 



f f'q,\x, p)dXdp = [""[' (p(X, p)dpdli, 



J n ^ o t/ o 1/ yr 



Donc , puisqu'on aura identiquement 



eP^~f'{) = <p(X, p) + \/i x(X, p), 

 l'intgrale double 



conservera elle-mme une valeur finie et dtermine. D'ailleurs, la fonc- 

 tion f{x) restant par hypothse finie et continue pour les valeurs attri- 

 bues X et pour une valeur plus petite, on aura encore 



