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 se douter. Tout nous porte croire que cette manire tait celle des 

 Latins. 



Dans le systme de XAbacus on n'exprime pas une fraction par deux 

 nombres , numrateur et dnominateur, comme actuellement , mais bien 

 par un signe particulier ; et ces signes taient au nombre de 24 1 de 

 sorte qu'il n'existait que 24 fractions qu'on exprimt directement. On 

 ramenait toutes les autres ces 24, qui jouaient ainsi le rle de 

 nos nombres complexes. Mais il y a faire cette distinction, que nos 

 nombres complexes expriment des valeurs concrtes , et qu'au contraire 

 c'tait d'une manire absolument abstraite que les 24 fractions de \Abacus 

 taient employes. 



Il y a encore remarquer que les signes de ces fractions recevaient 

 des valeurs de position , de mme que les neuf chiffres destins la 

 numration des nombres entiers. 



Ainsi, pendant qu'on veut refuser absolument aux Latins et aux 

 Chrtiens occidentaux la connaissance de l'ingnieux principe de la 

 valeur de position des chiffres , nous trouvons que non-seulement ces 

 peuples ont connu ce principe et l'ont appliqu comme les Arabes 

 l'expression des nombres entiers , mais qu'ils lui ont donn , en quelque 

 sorte, une plus grande extension en l'appliquant aussi aux signes des 

 fractions. Il est vrai que ce procd n'tait pas notre calcul dcimal 

 actuel, et qu'il lui tait infrieur, parce que les dnominateurs cons- 

 tants des fractions de VAbacus ne suivaient pas la progression duaire 

 comme ceux de ce calcul dcimal. 



Rponse de M. Libri aux Observations de M. Chasles. 



La communication verbale de M. Chasles donne lieu quelques 

 nouvelles remarques de M. Libri , qui persiste croire que les opinions 

 de M. Halliwell diffrent sur les points les plus importants de celles de 

 M. Chasles (i), et que le savant anglais, admettant les deux origines dis- 



(i) Aprs la sance, j'ai relu attentivement l'opuscule de M. Halliwell, et j'ai t fort 

 surpris de n'y rien trouver qui pt faire penser que M. Halliwell ait admis (comme l'af- 

 firme M. Chasles) V explication. . . du passage de Boece : puisqu'il s'a^jit d'une question 

 de fait, ce qu'il y a de plus simple, c'est de donner ici tout ce que M. Halliwell dit 

 propos de ce passage : 



Il It is very probable that the well-known passage on the jbacus, in tlie first book of 

 the Geometry of Boetius is an interpolation. For in a MS. once belonging to 



