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ANALYSE MATHMATIQUE. Sur lu thorie des nombres, et en particulier 

 sur les formes quadratiques des nombres premiers; par M. Augisti.'v 

 Cajchy. 



Dans une des prcdentes sances, en annonant la dcouverte d'un 

 manuscrit de Fermt, M. Libri a remarqu que ce manuscrit renfermait 

 l'nonc non-seulement des thormes dj connus de cet illustre gomtre, 

 mais encore d'autres propositions dignes de remarque. Ainsi, en particu- 

 lier, Fermt annonce qu'il a trouv une mthode pour dcomposer direc- 

 tement en deux carrs un nombre premier de la forme ^x -\- i. Tou- 

 tefois nous avons eu le regret d'apprendre que celte mthode ne se 

 trouve ni expose, ni mme indique dans le manuscrit de Fermt. Heu- 

 reusement, comme je l'ai observ, la dcomposition dont il s'agit, et 

 d'autres du mme genre, peuvent aujourd'hui tre effectues par des m- 

 thodes directes, comme Fermt l'annonait, et mme l'aide de calculs 

 qui n'exigent que de simples additions , comme on le verra tout--l'heure. 

 Dans son beau Mmoire sur les rsidus biquadratiques, publi en iSaS, 

 M. Gauss donne une rgle l'aide de laquelle on peut obtenir directement 

 la racine de l'un des carrs dans lesquels se dcompose un nombre pre- 

 mier de la forme [\n-\- i. Il suffit de chercher le plus petit reste qu'on 

 obtient en divisant par n la moiti du coefficient du terme moyen dans la 

 puissance in d'un binme. De plus, dans le Journal de M. Crelle de 1827, 

 M. Jacobi annonce qu'en cherchant la dmonstration de la rgle de 

 M. Gauss, il a t conduit par une thorie fconde des rgles du mme 

 genre qui fournissent par exemple la rduction d'un nombre premier p, ou 

 du quadruple de ce nombre, la forme quadratique x*-{-']jr*, lorsque p i 

 est divisible par 7, ou x*-\-i'jy*, lorsque^ i est divisible par 3. Enfin, dans 

 des Notes et. Mmoires publis, ou prsents l'Acadmie en 1829 et i83o, 

 je me suis mon tour occup de la recherche directe des formes quadra- 

 tiques des nombres premiers , et j'ai t assez heureux pour parvenir 

 des rsultats dont la grande gnralit a paru digne de l'attention des go- 

 mtres. Tel est entre autres un thorme tabli dans un Mmoire du 

 17 mai i83o, et suivant lequel, tant un nombre premier de la forme4J?+3, 

 et/) un nombre premier de la forme nx-^ i, on peut rsoudre directement 

 en nombres entiers l'quation 



X* -f- njr* = /)" 



ou . ; 



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