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ANALYSE MATHMATIQUE. Mmoire sur l'intgration d'une classe cEqua- 

 tions diffrentielles du second ordre en quantits Jinies explicites ; par 

 M. LiouviLLE. ( Extrait par l'auteur. ) 



tant donne une quation diffrentielle d'un ordre quelconque entre 

 deux variables^ et x, on peut se demander s'il existe ou non une intgrale 

 particulire de la forme j-= une jonction finie explicite de x ^ c'est--dire 

 une intgrale o la valeur de j^ en x se trouve crite l'aide d'un nombre 

 limit de signes algbriques, exponentiels et logarithmiques. La solution de 

 cette question parat offrir de grandes difficults. Les mthodes proposes 

 par Condorcet pour y parvenir indiquent sans doute le gnie pntrant de 

 cet illustre gomtre; mais elles sont loin d'tre fondes sur des principes 

 tout-fait rigoureux. Les raisonnements de l'auteur sont en gnral incom- 

 plets ou obscurs, et les conclusions qui en drivent manquent quelquefois 

 d'exactitude. 



1* Mes recherches sur la classification des transcendantes (*) m'ajant na- 

 turellement conduit m'occuper de l'intgration des quations diffren- 

 tielles en quantits finies, j'ai obtenu quelques rsultats dignes, si je ne 

 me trompe, de l'attention des gomtres. Je me bornerai dans ce Mmoire 

 traiter le cas particulier o l'quation dont^ dpend est de la forme 



P dsignant un polynme entier ax* + hx*^ +. . . -f- }ix-\-k. 



Je prouve que si l'quation (a) possde une intgrale exprimable en 

 fonction finie explicite de j:, on devra pouvoir y satisfaire en prenant 



y = e/"^, 



et dsignant par t une fonction de x algbrique et rationnelle dtermine 

 par l'quation 



Pour qu'une telle valeur de t ait lieu, il faut d'abord que le degr du 

 polynme P soit un nombre pair av. Cela tant, j'extrais autant que pos- 

 sible la racine carre de P ; je reprsente cette racine par Q et le reste par R, 

 ou autrement dit, je mets P sous la forme Q'-J- R, Q tant un polynme 



(*) Journal de Mathmatiques , tome 11, page 56, et tome III, page 523. 



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