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la premire par exemple, remplisse la condition exige; c'est elle qui re- 

 prsentera le degr / du polynme Y : on posera donc 



Y= A,j?' + A,_,j:' + +Ao, 



et la mthode des coefficients indtermins suilQra pour foui'nir les valeurs 

 de A^, A<_,, . . . Ao, ou pour montrer qu'elles sont impossibles. Dans ce 

 dernier cas, l'quation (a) n'a pas d'intgrale qui puisse s'exprimer en 

 fonction finie explicite de x : dans le premier on satisfait cette qua- 

 tion () en prenant^ =: Ye*', mais l'intgrale complte, savoir, 



/g 2x dx 



ne se rduit pas une fonction finie explicite de x ; elle n'est exprimable 

 sous forme finie qu' l'aide du signe y dont on ne peut pas la dbarrasser. 

 Le seul cas o y = o fait exception j l'quation devenant alors 



son intgrale 



j = Ae'^^ + Be-'^'\ 



ne renferme que des exponentielles. 



Les thormes que je viens d'noncer sont dmontrs en dtail dans 

 mon Mmoire. Pour suivre avec faciht les raisonnements que je dve- 

 loppe, il est bon d'avoir lu le Mmoire sur la classification des transcen- 

 dantes que j'ai rappel plus haut, et o j'ai pos les bases de la thorie 

 des fonctions finies : surtout il est ncessaire de se rappeler la signification 

 constante que nous donnons aux mots fonction algbrique et Jonction 

 finie explicite. Nous rpterons donc ici qu'une fonction y de x est dite 

 algbrique y lorsqu'elle peut tre regarde comme la racine d'une quation 

 de la forme j'" hj"~' ... M/ N = o , L , ... M, N taut des 

 polynmes entiers ou des fractions rationnelles en x : il importe peu que 

 cette racine soit exprimable ou non par radicaux : en adoptant gnrale- 

 ment le signe 'iir{x) pour la reprsenter, on voit que toutes les fonctions 

 algbriques deviennent explicits. Il n'en est pas de mme des fonctions 

 finies qui peuvent tre implicites ou explicites. Les fonctions finies expli- 

 cites (les seules que je considre dans le prsent Mmoire) comprennent 

 toutes les fonctions qui peuvent s'crire en employant un nombre limit 

 de fois les signes algbriques, exponentiels et logarithmiques , c'est--dire 

 les signes '!!r(x), e*, log x. Les plus simples d'entre elles sont algbriques. 



