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ANALYSE MATHMATIQUE. Mmoire sur l'valuation et la rduction de la 

 Jonction principale dans les intgrales d' un sjstme d'quations linaires; 

 par M. Augustin Cauchy. 



Tai fait voir, dans mes Exercices d'analyse et de Phjsique mathma- 

 tique, qu'tant donn un systme d'quations linaires aux diffrences 

 partielles et coefficients constants entre plusieurs variables principales 

 et des variables indpendantes , qui , dans les problmes de mcanique, 

 seront , par exemple , trois coordonnes rectangulaires x , j, z et le 

 temps t, on pourra, en supposant connues les valeurs initiales des va- 

 riables principales et de quelques-unes de leurs drives, rduire la re- 

 cherche des intgrales gnrales des quations proposes l'valuation 

 d'une seule fonction des variables indpendantes, que j'ai nomme Injonc- 

 tion principale. Cette fonction principale n'est autre chose qu'une intgrale 

 particulire de l'quation unique aux, diffrences partielles , laquelle doit 

 satisfaire une fonction linaire quelconque des variables principales; et, 

 si, dans tous les termes de cette quation aux diffrences partielles , on 

 efface la lettr employe pour reprsenter la fonction principale, on obtien- 

 dra entre les puissances des signes de diffrentiation 



D,, D D., D,, 



ce que nous appelons l'quation caractristique. Ajoutons, i que l'ordre 

 n de cette quation caractristique est gnralement la somme des nom- 

 bres qui , dans les quations donnes, reprsentent les ordres des drives 

 les plus leves des variables principales, diffrenties par rapport au 

 temps t; 2 que la fonction principale, assujtie s'vanouir au premier 

 instant, c'est--dire pour t = 0, avec ses drives relatives au temps et d'un 

 ordre infrieur . n r , doit fournir une drive de l'ordre n i , qui 

 se rduise alors une fonction de x, j^, z, choisie arbitrairement. Ainsi 

 dtermine, la fonction principale peut toujours tre reprsente par une 

 intgrale dfinie sextuple, relative six variables auxiliaires, et qui ren- 

 ferme sous le signe f une exponentielle trigonomtrique dont l'exposant 

 est une fonction linaire des variables indpendantes. Mais , dans beau- 

 coup (le cas, cette intgrale dfinie sextuple peut tre remplace par des 

 intgrales d'un ordre moindre, ou se rduire mme une expression en 

 termes finis. En consquence , la fonction principale peut admettre des 

 transformations et des rductions qu'il est bon de connatre, et qui sont 

 l'objet du Mmoire que j'ai l'honneur d'offrir aujourd'hui l'Acadmie. 



C. R. 1839, 2 Semestre. (T. IX, N 21 ) 89 



