In qua aequatione b et c sunt numeri integri et posilivi. Omnis numerus in- 

 teger et positivus in locum y positus, dabit x esse positivum et integrum ; 

 dum si haec accipiatur aequatio 



x -|- by = c , 



unde x = c by , 



x tantum positivus tune numerus erit, quum y positivus ila accipietur, ut sit 

 by<c. 



Si esset aequatio 



x by = c , 

 unde x = by c: 



quantitas x non positiva daretur, nisi assumeretur by > c. 

 Si aequatio ponerelur hoc modo 



x + ty = c i 



condilionem statutam servare nequiremus 5 duo enim positivi numeri -j- x -\- 

 by numerura negativum c adaequare non possunt. 



/xl Sit igitur haec raaxime generalis aequatio 



ax by = c (G) . 



in qua a, b et c sunt numeri integri : primo demonstrabimus a^quationem 

 illam non resolvi posse in numeros integros quantitatibns x et y substitutes, 

 ni numeri a et b sint primi inter se , aul conimunrm admittant divisorern qui 

 simul numerum c dividat. Eteuim si communis ille divisor inter a et b sil d . 

 ac si numerorum a et b per d divisorum quoti sint a' et 6', asquatio.fiet, a'x 



b'y = - : atqui a' , b' , x et y quum siut integri , haec aequatio nunquam 



f\ 



locum habere poterit, quamdiu ^ erit fractio 5 ergo divisor d etiam numera- 



a 



torem c divide! , quo facto , aequatio fiet 



a'x b'y = c' , 

 c' quotum divisiouis c per d exhibente : seel nova haec asquatio denuo , ut vi- 



