C '7 } 



demus, in euradem casum recidet in quo a el b numeri sunt primi inter se. 

 Hinc itaque numeros a el b semper primos inter sese ponemus. 



Sit nunc a < bj ex equatione (G) dcducilur x = ^~y hie autem non 



V a 



lam facile quam in Kqualiouibus paragraph! _\.. patefiunt solutioues in nu- 

 meros intogros et positives; sed a priori , tale solutionum syslema existere* 

 demonstrari potest. Nam 7 numeris a, b el c integris ct positivis existcmibus, 

 atque a el b primis inter se, dividatur c -{- by per a, hypoihesibus successivis 

 j- = o , = i , = 2 , = 3 , = etc. usque ad = a i , institutis , et obtinebuntur 

 residua numero a, alia aliis dissimilia, quorumque singula minora erunt quam 

 a : duo euim si valores y* , y" quanlilatis j", idem suppedilarent residuum r, 

 haberemus 



c 



c -\- by"=aq' -\-r 



q et q' quotes referentibus \ diflerenliam ergo b(y' y") dividerc possemus 

 per a, quae vero divisio eflici nou potest, qtioniam a el b sunl primi iuter se, 

 et y'<^a atque etiam j-"<, unde consequenter y' y" <rt : atqui scimus 

 duornm numerorum producturn non dividi posse per tertium uumerum , quoties- 

 cunque hie tertius el illorum duorum prior sunt primi inter se, atque alter minor 

 quam ille tertius numerus. Quoniam igilur ilia residua debcnt esse numero a , 

 inlegra , alia aliis dissimilia , et unumquodque minus quam a solummodo 



esse possunt o, i , a , 3, a i ; ergo ex eis unum erit nul 



lum , id cst , unus eril valor quantitatis y posiiivus et integer , quo posito 

 bf-\-c exacte dividi poterit per a, et quotus erit valor respondens quantitali 

 ar, ita ut illi numerij' et a: satisfaciant acquationl ax = by-\-c : illorum alter 



y inter o et a comprehendetur , alter vero x , inter - et b -f l Haec demons- 



a a* 



tratio diversis modis locum habere deberet pro diversis signis quibus numeri 

 a, b et c affici possent; sed mox omnes aequationes, ad maxime generalis no- 

 latae (G) formam, adduci posse videbimus. 



3 



