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pouvant toujours entrer dans un systme de surfaces isothermes orthogo- 

 nales, jouit de la proprit prcdente, et peut tre divis en carrs par 

 ses lignes de courbure. Cette proposition constituant un thorme de go- 

 mtrie pure, j'ai essay de la dmontrer directement; j'y suis parvenu d'une 

 manire fort simple, en employant le systme de coordonnes curvilignes 

 de M. Lam. 



3. La condition ncessaire et suffisante pour qu'un systme de courbes 

 planes puisse reprsenter des lignes isothermes, ou, si l'on veut, les bases 

 de cylindres isothermes, est que ces lignes et leurs trajectoires orthogonales 

 puissent diviser le plan sur lequel elles se trouvent en rectangles tous sem- 

 blables entre eux. 



On dduit, comme corollaire de cette proposition, que des lignes iso- 

 thermes tant donnes, leurs trajectoires orthogonales sont aussi des lignes 

 isothermes. Ce rsultat avait t obtenu par M. Lam comme consquence 

 de ses formules. 



4- Des surfaces isothermes de rvolution ne peuvent avoir pour trajec- 

 toires orthogonales conjugues d'autres surfaces isothermes que dans le cas 

 o leurs mridiens forment un systme de lignes isothermes. 



5. Deux systmes de lignes isothermes orthogonales tant donns , pour 

 que leur rotation autour d'un axe engendre des surfaces de rvolution iso- 

 thermes , il faut que les distances l'axe des quatre sommets d'un rectangle 

 quelconque form par les intersections des lignes donnes soient les quatre 

 termes d'une proportion. 



On peut vrifier que cette condition est remplie par un systme de sec- 

 tions coniques homofocales ; ces lignes sont , comme on sait , isothermes , et 

 leur rvolution autour d'un de leurs axes engendre des surfaces de rvolution 

 isothermes. Si donc on prend un rectangle form par deux hyperboles et 

 deux ellipses , les ordonnes de ses quatre sommets devront former une pro- 

 portion ; or, c'est prcisment ce qui rsulte d'un thorme de M. Chasles. 



lies thormes (4) et (5) montrent que , dans le cas o les surfaces sont 

 de rvolution, il ne serait pas exact de dire qu' un systme de surfaces 

 isothermes correspond un autre systme de surfaces orthogonales conjugues 

 celles-l et galement isothermes; si cela tait, il faudrait en effet, d'aprs 

 le thorme (4), que toutes les surfaces isothermes de rvolution eussent pour 

 mridiens des lignes isothermes; rciproquement, des lignes isothermes de- 

 vraient engendrer des surfaces de rvolution isothermes, quel que ft l'axe 

 autour duquel on les ft tourner. Cette dernire proposition rsulterait im- 

 mdiatement de la prcdente et de cet autre thorme dmontr par 



