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Ampre et Cauchy, elle ordonna l'insertion dans le Recueil des Savants 

 trangers, j'ai donn une formule qui permet de former directement les 

 coefficients de l'quation auxiliaire, et qui tablit un rapport, que d'habiles 

 gomtres ont cru digne de remarque [*] , entre le nombre de solutions de 

 certaines congruences et les coefficients dont on vient de parler. Aprs avoir 

 ainsi rattach ma thorie gnrale des congruences la rsolution des qua- 

 tions deux termes, j'ai d m'occuper d'un problme que M. Gauss avait 

 propos, et qui depuis plus de vingt ans restait sans solution. Dans la der- 

 nire section de ses admirables Disquisitiones arithmetic, cet illustre analyste 

 avait dit qu'il pouvait traiter l'quation d'o dpend la division de la lemnis- 

 cate par une mthode analogue celle qu'il avait employe avec tant de 

 succs pour la division de la circonfrence. Un tel nonc tait de nature ex 

 citer vivement l'attention des gomtres; mais comme Lagrange, qui s'tait 

 occup des quations rsolues par M. Gauss, n'avait pas donn de mthode 

 pour traiter les quations relatives la lemniscate, on paraissait devoir en con- 

 clure que ce sujet renfermait de grandes difficults. Eu considrant ces qua- 

 tions sous leur forme la plus simple et la plus lmentaire, je suis parvenu 

 les rsoudre par des considrations analogues celles que Lagrange avait 

 employes pour traiter les quations deux termes. La mme mthode m'a 

 permis de rsoudre gnralement les quations dont les racines, l'exemple 

 de celles des quations relatives la division du cercle et de la lemniscate, se 

 dduisent toutes, par un moyen uniforme et rpt , d'une quelconque d'entre 

 elles. Depuis l'poque o le Mmoire qui contient mes recherches sur cette 

 matire a t publi, j'ai repris ce sujet et je l'ai notablement tendu. J'ai 

 montr qu'on pouvait appliquer ces principes beaucoup d'autres quations 

 que je n'avais pas considres d'abord, et j'ai donn pour la formation des 

 coefficients de l'quation auxiliaire une formule analogue celle que j'avais 

 dj applique aux quations deux termes, et qui la comprend. Cette gn- 

 ralisation de la relation que j'avais dcouverte prcdemment forme la base 

 des recherches que j'ai l'honneur de prsenter aujourd'hui l'Acadmie. 

 Je donne ici, en abrg, la dmonstration de cette proposition fonda- 

 mentale qui offre de nombreuses applications la thorie des quations comme 

 la thorie des nombres. Elle m'a conduit considrer un nouveau genre 

 de congruences et d'quations indtermines, dans lesquelles les indices des 

 oprations sont des inconnues qu'il s'agit de dterminer d'aprs certaines 

 conditions auxquelles il faut satisfaire en nombres entiers. 



[*] Dans ses belles Recherches sur la Thorie des nombres , M. Lebesgue a fait de nombreuses 

 applications de cette formule, qu'il appelle plusieurs reprises trs-remarquable. 



