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 au premier, c'est--dire au plus petit des modules calculs; du compris entre 

 le premier et le second; ou compris entre le second et le troisime;... ou 

 enfin suprieur au dernier^ c'est--dire au plu grand module. Cela pos, 

 dans chacun des cas dont il s agit, la fonction rationnelle donne pourra tre 

 dveloppe eu une srie dont les divers termes seront proportionnels des 

 puissances entires 1 de x. Mais le dveloppement, pour demeurer conver- 

 gent, devra changer de forme dans le passage du premier cas au second, du 

 second cas au troisime, du troisime au quatrime, etc.... Dans le premier 

 cas, le dveloppement devra renfermer uniquement les puissances entires 

 et positives de la variable. Dans chacun des autres cas, il admettra en outre 

 des puissances ngatives, mais avec des coefficients qui changeront de valeurs 

 quand on passera d'un cas un autre; et mme dans le dernier cas, c'est-- 

 dire lorsque le module de la variable deviendra suprieur au plus grand 

 des modules calculs, les termes proportionnels des puissances positives de 

 la variable disparatront, ou se rduiront ceux qu'on obtient quand, aprs 

 avoir rduit la fonction donne une seule fraction rationnelle, on divise 

 algbriquement le numrateur de cette fraction rationnelle par son dno- 

 minateur. 



Ce que nous venons de dire suffit pour montrer que la thorie du dve- 

 loppement des fonctions en sries de termes proportionnels aux puissances 

 entires des variables , ne doit pas tre restreinte au cas o ces puissances 

 sont toutes positives, mais qu'au contraire cette thorie, qui s'applique avec 

 succs un si grand nombre de questions diverses, doit embrasser le cas o 

 les puissances sont de deux espces, savoir, les unes positives, les autres 

 ngatives. 



On dmontre facilement que, dans le cas o une fonction de la va- 

 riable x est dvelcjppable en une srie convergente ordonne suivant les 

 puissances entires et positives de x, elle offre un seul dveloppement de 

 cette espce. Mme cette proposition est un thorme fondamental sur le- 

 quel repose, dans l'analyse algbrique, la thorie des suites. Il importait de 

 voir si le mme thorme continue de subsister dans les divers cas o les 

 termes du dveloppement deviennent proportionnels, les uns des puissances 

 positives, les autres des puissances ngatives de la variable; et si l'on peut 

 alors donner encore de ce thorme une dmonstration en quelque sorte 

 lmentaire. Une telle dmonstration me paraissait d'autant plus dsirable, 

 que celle qui s'applique aux dveloppements ordonns suivant les puissances 

 positives d'une variable se trouve alors en dfaut, et que, d'un autre ct, le 

 thorme, une fois dmontr gnralement, entrane comme consquence 



