t '95 ) 

 immdiate d'autres propositions fpr,t utiles 'dans la i hante analyse, paa- 

 exemple, les, thormes de Lagr ange , de Laplacc et de Paoh, sur les dve- 

 loppements des racines des quations algbriques et transcendantes | ou des 

 sommes de ces racines, en sries ordonnes suivant les puissances ascendantes 

 d'un paramtre que renferment ces quations. En m'occupant de ces recher- 

 ches, j'ai reconnu que le thorme ci-dessus mentionn subsistait seulement 

 sous certaines conditions, et je suis parvenu dmontrer fort simplement 

 une propasition gnrale dont voici J'nonce: 



Si deux dveloppements d'une mme fonction de la variable x en srie 

 de Aerms proportionnels aux puissances entires positives et ngatives de 

 cette variable , demeurent gaux entre eux, pour toutes les valeurs de et 

 qui offrent un module donn, ils seront identiquement gaux, en sorte que 

 les coefficients des puissances semblables de x resteront les mmes dans les 

 deux dveloppements. , . 



La dmonstration de ce thorme est lobiet de la INote que ai Inon- 

 neur de prsenter l'Acadmie. 



ANALYSE. 



Soit 



b 



( I ) W jfi OC | m * Cl 2 ** l " 1 *%* ) "0 5 \ " 9 2 ** V * ' 5 ' il V 



une srie compose de termes proportionnels aux puissances entires posi- 

 tives et ngatives de x. Cette srie, qui pourra se prolonger indfiniment 

 dans les deux sens, sera convergente, si, pour des valeurs croissantes des 

 nombres entiers m et n, la somme 



(2) a_, n ^.^x~" ^+, -l-...+a_ 2 ar -2 -i-a_,a? -, +a -\-a t x , -ha 2 x 2 -\-...-ha n _ i x"~ i 



s'approche indfiniment d'une limite fixe s. La srie sera divergente dans le 

 cas contraire. 



Si la srie (1) est convergente, on pourra en dire autant des deux sries 



' 

 ffam x~' n , a~m-i 3c~ m ~\... , 



"n** 1 u n-\ * > 



Nommons r_ m et r les sommes de ces deux dernires, en sorte qu'on ait 



r_ m = a_ m x- m -t- a_ m _ K x~ m - K + etc...., 



r = a n x n +- a n +,x n+ ' -t- .... 



26.. 



