( '97 ) 

 vers la limite zro. Donc, en passant aux limites, on tirera de lequation (4), 



(5) a = g. 



Si la somme s s'vanouit pour toutes les valeurs de x dont le module 

 est x, on pourra en dire autant de , et par suite l'quation (5) se trouvera 

 rduite 



a = o. 



On peut donc noncer la proposition suivante : 



Lemme. Si une srie, compose de termes proportionnels aux puissances 

 entires positives et ngatives d'une variable x, reste convergente et pr- 

 sente une somme nulle , pour toutes les valeurs de x qui offrent un module 

 donn, le terme constant de cette srie sera identiquement nul. 



" I er Corollaire. Une srie convergente ne cesse pas de l'tre quand on 

 multiplie tous ses termes par un mme facteur, et alors la somme de la srie 

 se trouve elle-mme multiplie par ce facteur. Si la srie (i) est celle dont il 

 s'agit, il suffira de rduire le facteur x^", pour que le terme a n x n se 

 transforme en un terme constant 



a n . 



Si d'ailleurs la somme de la srie (i) est nulle, le produit de cette somme par 

 x^ n sera encore nul. Donc, sous les conditions nonces , le coefficient a n 

 ou a^n de la puissance X* ou x~", dans un terme quelconque de la srie (i), 

 sera identiquement nul , aussi bien que le terme constant a . 



i e Corollaire. Soit maintenant: 



(6) b_ m xr m ,..., b_ 2 x~ 2 , b^x~\ b , b,x, b 2 x*,..., b n x'\... 



une nouvelle srie semblable la srie (i) ; et posons gnralement , pour des 

 valeurs entires quelconques , positives ou ngatives de A , 



(7) b k a k = c k . 



Si les sries (i) et (6) sont convergentes et prsentent constamment la mme 

 somme pour toutes les valeurs de x qui offrent un module donn, .dors, 

 pour ces mmes valeurs de x, la somme de la srie 



\OJ C__, n X )) C_j X , C_\X , C , C t Xj c%x ,..., c n x >,, 



