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Leibnitz et les premiers gomtres qui se sont occups de l'analyse infi- 

 nitsimale ont appel diffrentielles des variables leurs accroissements 

 infiniment petits, et ils ont donn le nom adquations diffrentielles aux 

 quations linaires qui subsistent entre ces diffrentielles. Cette dfi- 

 nition des diffrentielles et des quations diffrentielles a le grand avan- 

 tage d'tre trs-gnrale et de s'tendre tous les cas possibles. Toute- 

 fois, pour ceux qui l'adoptent, les quations diffrentielles ne deviennent 

 exactes que dans le cas o les diffrentielles s'vanouissent, c'est--dire dans 

 le cas o ces quations mmes disparaissent. A la vrit, l'inconvnient que 

 nous venons de rappeler n'a point arrt Euler ; et ce grand gomtre, ti- 

 rant la consquence rigoureuse des principes gnralement admis, a considr 

 les diffrentielles comme de vritables zros qui ont entre eux des rapports 

 finis. Mais d'autres gomtres non moins illustres, et Lagrange leur tte, 

 n'ont pu se rsoudre introduire dans un mme calcul plusieurs sortes 

 de zros distincts les uns des autres; et c'est pour ce motif qu' la notion des 

 diffrentielles Lagrange a song substituer la notion des fonctions drives, 

 sur laquelle il sera convenable de nous arrter quelques instants. 



Examinons en particulier le cas o l'on considre une seule variable 

 indpendante et une seule fonction de cette variable. Si l'on attribue cette 

 variable un accroissement infiniment petit, l'accroissement correspondant 

 de la fonction se trouvera li la variable et l'accroissement de la variable 

 par une quation, qui deviendra linaire l'gard des deux accroissements, 

 quand on ngligera les infiniment petits du second ordre ou d'un ordre 

 suprieur vis--vis des infiniment petits du premier ordre. Or, l'quation 

 linaire ainsi obtenue fournira, pour le rapport entre les accroissements 

 infiniment petits de la fonction donne et de la variable, une fonction nouvelle. 

 Cette fonction nouvelle est prcisment celle que Lagrange appelle la jonc- 

 tion drive (i). Elle reprsente, en ralit, la limite de rapport entre les 

 accroissements infiniment petits et simultans de la fonction et de la variable. 

 Mais , au lieu de lui donner cette origine , Lagrange l'a considre comme 

 reprsentant le coefficient de 1 accroissement de la variable dans le premier 



(ij La mthode de maximis et minimis, donne par Fermt, peut tre rduite la re- 

 cherche du rapport qu'on obtient, quand on divise, par un accroissement indtermin attribu 

 une variable, l'accroissement correspondant de la fonction qui doit devenir un maximum 

 ou un minimum; et la dtermination de la valeur particulire qu'acquiert ce rapport quand 

 l'accroissement de la variable s'vanouit. Or, cette valeur particulire, comme Lagrange en a 

 fait la remarque, est encore la fonction drive. 



