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 terme de l'accroissement de la fonction dveloppe en une srie ordonner 

 suivant les puissances ascendantes de l'accroissement de la variable. 



Dans le cas o l'on considre un dveloppement en srie, abstraction 

 faite du systme d'oprations qui a pu produire ce dveloppement, le seul 

 moyen de savoir si le dveloppement dont il s'agit appartient une fonction 

 donne, est d'examiner si cette fonction quivaut la somme de la srie sup- 

 pose convergente. Par suite, pour tablir sur des bases rigoureuses la tho- 

 rie des fonctions drives, telle que Lagrange l'a conue, il faudrait com- 

 mencer par faire voir que l'accroissement d'une fonction quelconque est, 

 sinon ,dans tous les cas possibles, du moins sous certaines conditions, la 

 somme d'une srie convergente ordonne suivant les puissances ascendantes 

 de l'accroissement de la variable. Or la dmonstration gnrale d'un sem- 

 blable thorme ne peut se donner priori, et repose ncessairement, mme 

 dans le cas o les accroissements deviennent infiniment petits, sur diverses 

 propositions antcdentes; d'o il rsulte que ce thorme doit tre naturel- 

 lement considr, non comme le principe et la base du calcul diffrentiel, 

 mais comme un des rsultats auxquels conduisent les applications de ce cal- 

 cul. Aussi les difficults que l'on rencontre, quand on veut dduire la notion 

 des fonctions drives de la considration d'une srie compose d'un nombre 

 infini de termes, se trouvent-elles peine dissimules par toutes les res- 

 sources qu'a dveloppes le gnie de Lagrange dans le premier chapitre de 

 la Thorie des fonctions analytiques. 



On chappe aux difficults que nous venons de signaler, quand on con- 

 sidre une jonction drive comme la limite du rapport entre les accroisse- 

 ments infiniment petits et simultans de la fonction donne et de la variable 

 dont elle dpend. En adoptant cette dfinition, on pourrait, avec quelques 

 auteurs, nommer diffrentielle de la variable indpendante l'accroissement, 

 de cette variable, et diffrentielle de la jonction donne le produit de la 

 fonction drive par la diffrentielle de la variable. On pourrait enfin , lors- 

 qu'une mme quantit dpend de plusieurs variables, nommer diffren- 

 tielle totale de cette quantit la somme des diffrentielles qu'on obtiendrait 

 en la considrant successivement comme fonction de chacune des variables 

 dont il s'agit. Mais alors le sens du mot diffrentielle , loin de se trouver g- 

 nralement fix , en vertu d'une dfinition simple applicable tous les cas 

 possibles, exigerait, pour tre compltement dtermin, que l'on expliqut 

 avec prcision quelles sont les variables regardes comme indpendantes; 

 et si, pour, fixer les ides, on s'occupait uniquement de deux variables lies 

 entre elles par une seule quation , non-seulement la diffrentielle de la pie- 



