dpend de la rsolution d une quation algbrique de degr lev. Le pro- 

 blme de la multiplication et celui de la division des arcs de cercle diffrent 

 donc beaucoup entre eux: l'un se rsout comme de lui-mme; l'autre, au 

 contraire, exige la recherche de quantits irrationnelles, la vrit toujours 

 exprimables par des radicaux. 



Lorsqu'on passe des fonctions circulaires aux fonctions elliptiques, il 

 arrive semblablement que les problmes relatifs la multiplication se r- 

 solvent de suite par les formules fondamentales, tandis que les problmes 

 relatifs la division dpendent d'quations algbriques de degr lev. Ces 

 quations sont une seule inconnue, comme dans le cas prcdent, et elles 

 se rsolvent encore l'aide de radicaux, pourvu que l'on admette les irra- 

 tionnelles auxiliaires, propres au cas de la fonction complte de premire 

 espce, irrationnelles qui ne dpendent plus de l'argument variable qu'on 

 veut diviser, mais qui ne paraissent pouvoir se rduire des racines d'- 

 quations binmes, que pour certaines valeurs particulires du module. 



Abel a le premier donn la thorie gnrale de la division des fonctions 

 elliptiques. Les formules assez compliques qu'il a trouves d'abord ont t 

 peu de temps aprs simplifies par M. Jacobi. Nous devions ici mentionner 

 ce perfectionnement, indiqu en quelques lignes dans le t. III du Journal 

 de M. Crelle, p. 86; car les nouvelles formules de M. Hermite ont beau- 

 coup d'analogie avec celles que M. Jacobi pose sans dmonstration dans 

 l'endroit cit. 



. La considration des diffrentielles algbriques, qui renferment un 

 radical carr portant sur un polynme du troisime ou du quatrime degr , 

 donne naissance aux transcendantes elliptiques. En augmentant le degr du 

 polynme on est conduit aux transcendantes ultra-elliptiques. Vous pourrez 

 mme, si vous voulez, aller plus loin, et substituer aux radicaux carrs des 

 irrationnelles quelconques. Mais l'tude des transcendantes que l'on forme 

 ainsi devient trs-difficile. Pour passer de la thorie des fonctions elliptiques 

 celle des fonctions ultra-elliptiques, les gomtres ont d vaincre les plus 

 grands obstacles. Ce n'est^pas l une de ces gnralisations vulgaires o se com- 

 plaisent les esprits mdiocres et que Jean Bernoulli renvoyait ddaigneu- 

 sement Varignon. Il a fallu d'abord qu'Abel dcouvrit le thorme si re- 

 marquable sur les sommes d'intgrales ; il a fallu surtout que M. Jacobi 

 expliqut le vrai sens de ce thorme, et la diffrence essentielle de nature 

 qui spare les transcendantes elliptiques des transcendantes ultra-elliptiques, 

 malgr la commnuaut apparente de leur origine. Les gomtres philosophes 

 admireront toujours la sagacit dploye par M. Jacobi dans ces recher- 



