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Il y aurait bien des remarques faire sur ce passage (*), mais nous de- 

 vons surtout nous attacher ce qui concerne la lemniscate. M. Libri promet, 

 comme M. Gauss, dtendre ce cas la mthode employe pour les sections 

 circulaires. Dans le cours du Mmoire , il reproduit cette annonce; aprs avoir 

 indiqu le moyen de dcomposer graduellement l'quation binme en qua- 

 tions de degrs moindres, il ajoute : En partant du mme principe, on peut 

 rsoudre d'autres quations algbriques, et notamment celles d'o dpend 

 la division de la lemniscate en parties gales {voyez la Note IV). Cette 

 phrase n'est suivie d'aucun dveloppement. Lisons donc vite la Note IV. L 

 (ce qui doit paratre fort bizarre), il ne s'agit pas du tout de dcomposer 

 une quation en d'autres de degrs moindres, mais bien de rsoudre sans 

 dcomposition une quation dont les racines sont supposes jouir d'une cer- 

 taine proprit. Le mot lemniscate ne s'y trouve pas. Cette Note tant la 

 pice capitale sur laquelle M. Libri appuie sa rclamation sans cesse renou- 

 vele depuis la mort d'Abel (**) , transcrivons-la tout entire : 



Soit propose l'quation oc" i = o, et soit s une racine primitive 

 du nombre premier ra; si l'on exprime par i\ , r 2 ,. . . , r_, les (n i) 



racines de = o , il est clair qu'on aura 



.r i * 



maintenant si l'on suppose que l'quation x m + a, r" 1 "-' -h . . . +- a m = o 



ait les m racines r 4 , r a , r 3 ,... telles qu'en exprimant par <p(y) une fonc- 



tion rationnelle quelconque de y, on ait toujours r 2 = y(r,), 



r 3 = f (r a ), . . ., etc. , on pourra encore rsoudre compltement l'qua- 



tion x m + aix" 1 -* + .. . -f- a m = o (lorsqu'elle n'a pas de facteurs 



(*) Relativement aux racines primitives, voyez ce qu'a crit M. Poinsot dans un Mmoire lu 

 l'Acadmie en 1818, et imprim en 1820 dans le XVIII e cahier du Journal de l'cole Polytech- 

 nique. Notre confrre explique avec sa lucidit ordinaire pourquoi l'emploi de ces racines n'est 

 pas indispensable pour l'a solution des quations binmes. Quant aux formules o entrent les 

 nombres de solutions de certaines congruences , ce sont celles qu'on retrouve la page q5 

 du prsent volume de nos Comptes rendus; elles ne peuvent servir chercher les racines de 

 l'unit que quand on connat les nombres N, , Nj , . . . , N_i. Or c'est M. Lebesgue, et non 

 M. Libri, qu'on doit d'avoir donn pour cela une mthode un peu praticable. 



(**) Journal de M. Crelle , tome X; Supplment la Biographie universelle, article Abei,; 

 Comptes rendus , t. X , p. 3i4 , et t. XVII, p. o/f et ag5. M. Libri se plaint, dans le t. X des 

 Comptes rendus, de n'avoir pas t cit par M. Jacobi, de mme qu'il se plaint aujourd'hui 

 de n'avoir pas t cit par moi. 



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