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et seq., pour rsoudre une classe dequations auxquelles il tait parvenu 



dans ses recherches sur l'quation x" i = o. Ces quations ont la mme 



proprit que notre quation <p (jr)=o, savoir, que toutes ses racines peu- 



vent tre reprsentes sous la forme 



x, 0(ar), Q\x),..., Br-*(x), 



(x) tant une fonction rationnelle (*). 



Cette dernire phrase nous invite revenir sur la Note IV de M. Libri, 

 puis passer de l au Mmoire de i83o que nous devons aussi discuter. 



Et d'abord, dans cette Note IV, l'auteur impose au thorme unerestriction 

 inutile, savoir, que l'quation propose n'ait pas de facteurs rationnels. Cette 

 condition, ncessaire dans d'autres circonstances, ne l'est point dans la cir- 

 constance actuelle. Le thorme, nonc correctement, consiste en ceci : 

 " Quand les racines d'une quation algbrique peuvent tre toutes ranges 

 en cercle de telle manire que chacune d'elles se dduise de la prcdente 

 et engendre la suivante par une seule et mme opration rationnelle, cette 

 quation est ncessairement rsoluble l'aide de radicaux. Sous cette 

 forme, qui ne reconnat des ides devenues familires aux gomtres long- 

 temps avant 1825, ne ft-ce que par la prface (si nette et si claire, il est 

 vrai) mise par M. Poinsot en tte de l'ouvrage de Lagrange? On a vu au sur- 

 plus tout l'heure ce qu'Abel en pensait. Quant la dmonstration, qui 

 s'offre d'elle-mme, elle est si simple, que je puis, sans trop allonger cette 

 Note , la donner ici. 



>< Admettons , pour fixer les ides, que l'quation propose soit du dixime 

 degr, ce qui ne change rien aux raisonnements. Nos racines exprimes ra- 

 tionnellement au moyen dune quelconque d'entre elles , ayant t ranges en 

 cercle comme on l'a dit, on peut voir que cette disposition des racines est 

 telle que, si l'on veut mettre une d'entre elles la place d'une autre, et que, 

 parce changement, une des racines s'avance d'une, de deux, de trois 

 ou de quatre places , etc., toutes les autres s'avanceront en mme temps 

 d'une, de deux , de trois ou de quatre places , etc. ; de sorte que toutes 

 les permutations possibles que vous voudriez faire entre ces dix racines, 

 par le transport de l'une la place d'une autre, se rduiront uniquement 

 aux dix permutations que vous obtenez en lisant de suite vos racines, 

 d'abord partir de la premire, puis de la deuxime , puis de la troi- 

 sime, etc., enfin de la dixime. Cela pos, si , en suivant la mthode 



(*) Journal de M. Crelle, t. IV, p. 142. 



