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prouv que les puissances d'une mme racine puissent toujours s'exprimer 

 par des fonctions linaires des autres racines. J'ajoute qu'on peut ais- 

 ment former des exemples o le contraire a lieu. La dmonstration de 

 M. Libri , reposant alors sur un lemme inexact , doit tre rejete. Heureu- 

 sement rien n'empche de recourir, dans tous les cas, l'ancienne d- 

 monstration. 



Mais admettons que M. Libri n'ait gt ni l'nonc ni la dmonstration 

 de ce qu'il nomme son thorme ; faudra-t-il en conclure qu'il avait rsolu ds 

 1825 les quations relatives la lemniscate? D'abord, de quelles quations 

 entend-on parler? de celles qui se rapportent un arc quelconque ? Non, car 

 M. Libri n'en dit pas un seul mot, ni en 1826, ni en i83o. Est-ce des quations 

 relatives la division du primtre complet en un nombre quelconque de par- 

 ties gales ? Non , car le nombre 2" -+- 1 , qu'on voit seul dans son Mmoire , 

 n'est pas quelconque. Mais, pour ce dernier cas du moins, M. Libri est arriv 

 au but, grce ce fameux thorme de la Note IV? Non, car, ni dans le M- 

 moire de 1825, ni dans celui de i83o, nulle part, dis-je, M. Libri n'a prouv 

 que les racines des quations rsoudre peuvent se dduire toutes successi- 

 vement les unes des autres , ainsi qu'on l'a indiqu plus haut. 



Mais, rpondra-t-on, aprs avoir considr le cas o l'on peut former 

 ainsi un groupe unique de toutes les racines, M. Libri examine ce qui arri- 

 vera si elles en forment au contraire plusieurs, si des rapports rationnels 

 n'existent qu'entre quelques-unes des racines, etc. Eh bien, tout ce qu'on 

 peut conclure de l, c'est que les quations dont les racines ont, en totalit 

 ou en partie, des rapports rationnels, forment des classes diverses ; que des 

 mthodes diverses doivent aussi tre appliques. Tantt la solubilit par 

 radicaux aura lieu , tantt elle n'aura pas lieu. Or, M. Libri nous indique-t-il 

 la classe dans laquelle les quations relatives la lemniscate se rangeront? 

 Nullement. Aprs quelques mots que l'on trouve sur elles en tte du Mmoire, 

 il passe aux gnralits ; puis tout d'un coup il conclut ainsi : L'analyse 

 prcdente nous montre comment on peut rsoudre les quations qui 

 rsultent de l'limination des inconnues entre les deux quations y{x,y)=o, 

 >(^, x) = o, et l'on dduit de la mme analyse la solution complte des 

 quations (2) (que nous avons considres en tte de ce Mmoire), des- 

 quelles dpend la division en parties gales de l'arc de la lemniscate. Par 

 une singulire confusion d'ides , M. Libri a ainsi constamment ml et les 

 quations relatives la lemniscate et une foule d'quations plus compliques, 

 dont la plupart se refuseront toujours, de leur nature, la rsolution par 

 radicaux. Il est juste de dire qu'en parlant des quations f {pc , jr) = o , 



