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Les formules dont il s'agit sont aux diffrences partielles du second ordre, 

 mais non linaires. Elles contiennent, comme variables indpendantes, 

 les paramtres des surfaces conjugues, ou les trois coordonnes curvilignes, 

 et, comme fonctions de ces variables, les trois paramtres diffrentiels du 

 premier ordre. 



Ces quations aux diffrences partielles sont trop compliques pour 

 qu'on puisse les intgrer gnralement; mais, en assujettissant les fonctions 

 qu'elles contiennent de nouvelles conditions, l'intgration devient possible. 



Dans le Mmoire actuel , j'introduis la condition que les surfaces conju- 

 gues soient toutes isothermes, ce qui donne trois quations nouvelles aux 

 diffrences partielles, linaires et du premier ordre. Un systme de surfaces 

 isothermes, ou d'gale temprature, existe dans tout solide homogne sou- 

 mis diverses sources constantes de chaleur ou de froid. Deux quelconques 

 des surfaces qui composent ce systme peuvent tre prises volont; mais ces 

 deux surfaces, une fois choisies, non-seulement toutes les autres se dessinent 

 d'elles-mmes , mais encore les surfaces orthogonales qui leur sont conju- 

 gues. 



Il faut toutefois excepter le cas de deux sphres concentriques, et celui 

 de deux plans parallles, cause de l'indtermination des systmes conjugus 

 qui leur correspondent. Mais ces cas tant carts , l'ensemble des surfaces 

 orthogonales est totalement dtermin ds qu'on se donne deux surfaces indi- 

 viduelles; ce qui montre clairement que les deux surfaces choisies doivent 

 avoir une nature et des positions relatives particulires, pour que les systmes 

 conjugus qui les accompagnent soient tous les trois isothermes. 



J'ai fait voir que, dans tout systme triple de surfaces isothermes, les 

 six rayons de courbure des surfaces qui passent en chaque point sont tels, 

 que le produit de trois d'entre eux, pris dans un certain ordre , est gal au 

 produit des trois autres. Mais depuis, M. J.Bertrand, dans le Mmoire qu'il a 

 rcemment prsent l'Acadmie, a dmontr plusieurs thormes nouveaux, 

 qui dfinissent plus compltement encore le caractre gomtrique des sur- 

 faces dont il s'agit. 



Il dmontre, en effet, que toute surface appartenant au systme triple 

 doit jouir de la proprit de pouvoir tre divise en carrs infiniment petits 

 par ses lignes de courbure, lesquelles, d'aprs le beau thorme dmontr 

 gnralement par M. Dupin, ne sont aulres que les intersections de cette sur- 

 face, par toutes les surfaces orthogonales qui peuvent lui tre conjugues. 



C'est la dfinition si prcise, trouve par M. Bertrand, qui m'a donn 

 l'ide de chercher, par l'intgration des quations diffrentielles dont je viens 



