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de parler, quelles sont toutes les surfaces capables de composer un systme 

 triplement isotherme. 



Je considre d'abord, le cas des surfaces de rvolution], c'est--dire celui 

 o 1 un des trois systmes partiels se compose de plans mens suivant une 

 mme droite , et les deux autres de surfaces de rvolution autour de cette 

 droite ; or, l'intgration complte ne conduit qu'aux deux systmes connus 

 des surfaces de rvolution du second degr. 



Je considre ensuite le cas gnral, et l'intgration me conduit pareille- 

 ment au systme triple des surfaces isothermes du second ordre ; ainsi , par 

 le thorme de M. Bertrand, les surfaces du second degr sont les seules qui 

 puissent tre partages en carrs infiniment petits par leurs lignes de cour- 

 bure. 



Un rsultat aussi simple doit pouvoir se dmontrer d'une manire en 

 quelque sorte lmentaire , l'aide des infiniment petits et en s'appuyaut sur 

 la thorie, aujourd'hui si bien connue, des surfaces du second ordre; mais la 

 mthode compltement analytique que j'ai suivie m'offrait l'avautage d'essayer 

 une premire fois, sur un cas simple, l'intgration des quations diffrentielles 

 qui appartiennent tous les systmes de surfaces orthogonales. 



Ces quations sont compliques et d'une forme telle , que les mthodes 

 d'intgration employes jusqu'ici ne leur sont pas applicables. Je n'ai pu at- 

 teindre le but que je me proposais qu'en ayant recours des procds parti- 

 culiers qui paraissent lis intimement avec cette sorte d'quations diffren- 

 tielles , et qui doivent mettre sur la voie pour parvenir les intgrer dans des 

 cas plus gnraux. 



En rsum , on connat maintenant tous les genres de surfaces orthogo- 

 nales dans lesquels les trois systmes partiels sont isothermes : 



i. Celui des surfaces du second ordre, qui m'a servi trouver les lois 

 de l'quilibre et du mouvement des tempratures dans un ellipsode trois 

 axes ingaux dont la surface est directement soumise des sources constantes 

 de chaleur et de froid ; 2 ceux qui comprennent les ellipsodes de rvolutiou 

 autour du petit axe et autour du grand axe ; 3 ceux o l'un des trois systme^ 

 partiels se compose de sphres concentriques, lesquelles peuvent tre conju- 

 gues une infinit de cnes du second ordre; 4 enfin ceux o l'un des sys- 

 tmes partiels se compose de plans parallles qui peuvent tre conjugus 

 une infinit de cylindres isothermes. 



De ces quatre genres, les trois premiers ne forment rellement qu'un seul 

 et mme groupe, car le deuxime et le troisime peuvent se dduire du pre- 

 mier, en modifiant convenablement les constantes qu'il renferme; il n'en est 



