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 dont les facteurs croissent en progression arithmtique, et d'autres sries 

 divergentes du mme genre, fournissent effectivement, quand on les arrte 

 aprs un certain nombre de termes, des valeurs approches des fonctions 

 dont elles reprsentent les dveloppements. Il tait important d'examiner 

 s'il est possible de rendre lgitime l'emploi de semblables sries, et de fixer 

 les erreurs commises en raison de cet emploi. M'tant occup de cette ques- 

 tion, je suis parvenu reconnatre que, dans la srie de Stirling, et dans une 

 multitude d'autres sries du mme genre, le premier des termes ngligs 

 reprsente prcisment une limite suprieure l'erreur commise. Cette pro- 

 position trs-simple se dmontre aisment l'aide des considrations sui- 

 vantes. 



La proprit que je viens d'indiquer appartient videmment Un v e pro- 

 gression gomtrique , dont les divers termes , supposs rels , sont alterna- 

 tivement positifs et ngatifs. Il est ais d'en conclure qu'elle appartient 

 toute srie ordonne servant les puissances ascendantes d'une variable, et 

 produite par le dveloppement d'une fraction rationnelle ou mme d'une 

 fonction transcendante, dcomposable en fractions simples, d'an's le ca(s o 

 l'quation qu'on obtient en galant cette fonction l'infini , n'offre que des ra- 

 cines relles ngatives, ou des racines imaginaires dont les parties relles s'va- 

 nouissent. Donc la mme proprit appartiendra encore aux dveloppements 

 d'intgrales dfinies prises partir de l'origine zro, et dans lesquelles de 

 semblables fonctions se trouveraient multiplies, sous le signe /, par des fac- 

 teurs qui resteraient toujours positifs entre les limites des intgrations*. Or la 

 srie de Stirling est prcisment le dveloppement d'une telle intgrale. 

 Quand on arrte cette srie ds ses premiers termes, en ngligeant tous ceux 

 qui renferment les nombres de Bernoulli, la rgle que nous avons nonce 

 reproduit un rsultat obtenu par M. Liouville. 



Les principes que je viens d'exposer suffisent pour mettre en vidence 

 les avantages que peut offrir l'emploi de la srie Stirling et de plusieurs autres 

 sries de mme nature, malgr leur divergence. Ainsi, en particulier, il 

 rsulte de ces principes que la srie de Stirling fournit la valeur appro- 

 che du logarithme d'une intgrale eulrienne de seconde espce, c'est-- 

 dire du logarithme de la fonction V (n), lorsque la base n surpasse le nombre 

 10, avec une approximation telle que l'erreur commise est infrieure 

 deux units de l'ordre du vingt-septime chiffre dcimal. On comprend 

 qu'une approximation si grande dpasse de beaucoup celle que l'on se pro- 

 pose gnralement dans les valuations numriques des quantits. 



