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ascendantes de l'accroissement de la variable. Or, pour obtenir cette formule, 

 il suffit de recourir l'quation symbolique qui existe entre les lettres carac- 

 tristiques A , D, dont l'une sert indiquer une diffrence finie , l'autre une 



fonction drive ; et de dvelopper - suivant les puissances ascendantes de D. 



Il y a plus, on pourra dvelopper pareillement, suivant les puissances ascen- 

 dantes de la lettre D, une fonction rationnelle symbolique qui aurait pour nu- 

 mrateur l'unit, et pour dnominateur une fonction entire de A. Enfin , l'on 

 pourra dcomposer une fraction rationnelle de cette espce en fractions sim- 

 ples dont chacune ait pour dnominateur une fonction linaire de D. Les for- 

 mules obtenues comme on vient de le dire, pourront servir dvelopper 

 l'intgrale d'une quation linaire aux diffrences finies qui aura pour second 

 membre une fonction donne de la variable, en une srie dont chaque terme 

 sera proportionnel ou l'une des drives de cette fonction , ou l'intgrale 

 d'une quation diffrentielle linaire du premier ordre. Toutefois, ces for- 

 mules, ainsi dduites d'une quation symbolique , ne pourront encore tre 

 considres comme rigoureusement tablies ; la mthode qui les aura fait 

 dcouvrir n'tant en ralit qu'une mthode d'induction, et l'on doit mme 

 observer que cette mthode ne parat nullement propre faire connatre 

 dans quel cas chaque srie sera convergente, et sous quelles conditions cha- 

 que formule subsistera. Or, ces dernires questions se rsoudront assez faci- 

 lement clans beaucoup de cas, l'aide des considrations suivantes. 



D'abord, pour obtenir les rgles de la convergence des sries, il suf- 

 fira souvent de recourir deux thormes que j'ai dmontrs, l'un dans 

 Y Analyse algbrique, page i43 , l'autre dans le Mmoire de i83i sur la 

 Mcanique cleste. A l'aide de ces deux thormes, on prouvera aisment, 

 par exemple, que la srie donne par Maclaurin comme propre repr- 

 senter le dveloppement d'une intgrale aux diffrences finies reste conver- 

 gente jusqu'au moment o le module de l'accroissement de la variable at- 

 teint, non pas la limite pour laquelle cesse la convergence de la srie de 

 Taylor, quand on y supprime dans chaque terme les diviseurs numriques , 

 mais une limite infrieure qui sera le rayon d'une circonfrence reprsente 

 par la premire. D'ailleurs cette limite infrieure sera nulle, except dans le 

 cas o la srie de Taylor restera toujours convergente ; et par consquent ce 

 dernier cas sera le seul dans lequel il y aura lieu d'examiner si la srie en 

 question est convergente elle-mme. 



Les lois de la convergence des sries tant connues , pour tablir en 

 toute rigueur les formules elles-mmes dans le cas o les sries seront con- 



