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restriction inutile , en oprant sur une quation qui n'a pas de facteurs ration- 

 nels, fia Note prsente l'Acadmie en i8a5 porte que : Von pourra 

 encore rsoudre compltement l'quation... 'lorsqu'elle n'a pas de facteurs 

 rationnels) en employant la mme mthode dont Lagrange s'est servi, etc. 

 La restriction porte donc sur ma dmonstration et non pas sur l'nonc de 

 la proposition ; elle devait subsister dans le cas actuel. Je voulais d'ailleurs 

 noncer un thorme nouveau, et je n'avais pas besoin de comprendre dans 

 mon nonc un cas connu de tous les commenants. M. Liouville ne me 

 semble pas s'tre bien rendu compte de la nature de l'quation dont il s'agit, 

 lorsqu'elle a des facteurs rationnels. Car alors, si tous les facteurs rationnels 

 sont gaux, on aura un certain nombre d'quations gales sans facteurs 

 rationnels, et cela ne nous apprendra rien de nouveau, et ne nous fera 

 connatre aucune autre racine nouvelle; et, si tous les facteurs ne sont pas 

 gaux, les racines de l'quation seront rationnelles et pourront tre dter- 

 mines par les mthodes les plus lmentaires et qui sont connues depuis 

 longtemps. Je n'avais donc nullement me proccuper de ces cas-l; mon 

 nonc est parfaitement exact, et il n'y a rien changer quand on veut dire 

 quelque chose de nouveau. Ce qui montre encore mieux l'opportunit de n'y 

 introduire aucune modification, c'est l'erreur dans laquelle est tomb 

 M. Liouville, en s'efforant de les gnraliser (i) sa manire. En effet, en 

 l'nonant, comme il le prtend, plus correctement, M. Liouville dit que 

 l'quation dont il s'agit sera ncessairement rsoluble l'aide de radicaux, 

 qu'il y ait oui ou non des facteurs rationnels. Or nous venons de voir que 

 si tous les facteurs rationnels ne sont pas gaux , les racines seront toutes 

 rationnelles: il n'y aura donc pas de radicaux. M. Liouville me permettra 

 donc de conserver mon nonc plus restreint, et de ne pas adopter celui 

 qu'il y a substitu et qui est erron. 



Passant l'examen de mon lemme, M. Liouville dclare que personne 

 n 'adoptera ma dmonstration, et il me demande si lorsque je cherche 

 dterminer chaque puissance d'une racine en fonction linaire des autres 

 racines, je crois pouvoir tablir que ces quations ne rentrent pas les unes 

 dans les autres? A mon avis il y a ici une trange confusion d'ides, et il me 

 serait facile de rpondre ce passage de l'article de M. Liouville , o mou 



( i ) Il est vident aussi que si toutes les racines pouvaient s'exprimer ainsi r, ep, (r), y 2 (r), . . . , 

 <? (r) , sans que (pour me servir d'une expression de M. Liouville) le cercle ft ferm , l'qua- 

 tion serait galement rsoluble. Mais ces sortes de gnralisations n'ont pas besoin d'tre 

 nonces : tout le monde les devine. 



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