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adversaire dit : Il n'est donc pas prouv que les puissances d'une mme ra- 

 cine puissent toujours s'exprimer par des fonctions linaires des autres 

 racines. J'ajoute qu'on peut aisment former des exemples o le contraire 

 a lieu. Mais j'attendrai les exemples que promet M. Liouville , et pour 

 le moment je me bornerai faire remarquer que dans la dernire dition de 

 la Thorie des nombres, M. Legendre, abordant quelques points de cette 

 dmonstration par une mtbode analogue la mienne, admet la vrit 

 du lemme tant critiqu par M. Liouville (i). Si mon adversaire avait pris la 

 peine de considrer l'analyse de M. Legendre, il m'aurait probablement 

 pargn la critique qu'il m'a adresse ce sujet, et il aurait ainsi vit les 

 mprises dans lesquelles il est tomb. 



Aprs avoir prouv que l'nonc que j'ai choisi est exact, aprs avoir 

 dmontr que ma dmonstration est exacte aussi, et que les erreurs et les 

 mprises appartiennent toutes M. Liouville , il me reste examiner ce que 

 M. Liouville dit relativement ma manire de diviser en parties gales 

 l'arc de la lemniscate. Si M. Liouville avait examin les quations que je 

 donne dans mou Mmoire et qui ne sauraient appartenir qu'au primtre 

 entier (2), il ne m'aurait pas demand de quelles quations Je voulais parler. 

 Lorsque je m'appliquai d'abord rsoudre le problme si difficile propos 

 par M. Gauss en 1 801, et rest toujours sans solution, je dus ncessairement 

 tudier les travaux de Fagnani et d'Euler sur la lemniscate. La rsolution des 

 quations que je rencontrai dans leurs crits, et qu'Euler n'avait pas r- 

 solues, m'offrit d'abord des difficults insurmontables, et ce fut seulement 

 lorsqu'au lieu de chercher, comme on l'avait fait, la division du demi-primtre, 

 je considrai le primtre entier, que je pus former cette srie rentrante des 

 racines qui m'appartient et qui devait me conduire au but. Je m'efforai 

 alors de rsoudre les quations pour le cas o la division de la lemniscate 

 pouvait s'effectuer par la rgle et le compas, et j'y parvins par les moyens 

 qui m'avaient russi dj pour le cercle. C'est l ce que je disais dans mon 

 Mmoire de i825; il est facile de montrer en effet comment les mmes 

 principes s'appliquent aux quations relatives la lemniscate. Plus tard, je 

 repris ce sujet, et j'annonai dans un Mmoire imprim Florence, que je 

 pouvais rsoudre les mmes quations l'aide des principes de l'analyse in- 

 dtermine. La proposition que j'avais prsente en 1825 l'Acadmie, en 

 indiquant les moyens de la dmontrer, renfermait ces deux procds et les 



(1) Voyez Leoendre , Thorie des nombres, Paris, i83o; 2 vol. in-4, t. II, p. 461 et 462. 



(2) Pour viter toute quivoque, je dirai que j'entends par primtre entier l'une des 

 deux parties gales et fermes qui composent la courbe totale. 



