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gnralisait; mais il me manquait toujours de pouvoir trouver des quations 

 analogues et jouissant des mmes proprits pour la division de la lemniscate 

 en un nombre quelconque de parties. C'est pour cela que j'ai hsit si long- 

 temps publier les recherches dont j'avais prsent les lments l'Acadmie. 

 Maintenant, M. Liouville dclare que je n'ai pas dmontr que les quations 

 relatives la lemniscate peuvent se rsoudre par les principes que j'avais poss. 

 M. Liouville est encore ici dans l'erreur : l'analyse de l'quation relative la 

 division del lemniscate en cinq parties montre, comme je l'ai annonc (i) 

 dans le Mmoirejde 1 83o, la manire de procder dans tous les cas. Supposons, 

 par exemple , qu'il s'agisse du cas le plus simple, de celui dans lequel on peut 

 diviser la lemniscate par la rgle et le compas seulement. En ce cas, qui 

 est le plus remarquable, et celui que je devais avoir spcialement en vue, 

 le nombre des quations que j'ai donn sera pair (2) ; et en faisant un cer- 

 tain nombre d'liminations successives , on rduira toujours ces quations 

 deux seulement, qui seront rciproques et analogues en tout point celles 

 qui servent la division en cinq parties gales (3). Dans tous les cas, il sera 

 facile, par les principes les plus lmentaires de la thorie des quations 

 de sparer des autres les racines qui ont entre elles un rapport donn (4). 

 Dans l'introduction de mon Mmoire , j'ai indiqu rapidement quelques-unes 

 des proprits des racines des divers facteurs dans lesquels peut se dcom- 

 poser, dans certains cas, l'quation finale. Tout homme qui a quelque habi- 

 tude de l'algbre comprendra facilement ce que j'ai dit cet gard dans 

 mon Mmoire. Si M. Liouville pouvait conserver encore quelques doutes sur 

 ce point si lmentaire, je m'engagerais les lever. Mais je ne pense pas 

 qu'il puisse tre arrt plus longtemps par des difficults de cet ordre-l. 



Je viens de rfuter toutes les objections de M. Liouville. D'autres points 

 incidents, pour lesquels l'emploi de l'analyse me paraissait ncessaire, sont 



(1) En gnral on voit comment on peut appliquer les mmes principes aux qua- 

 tions qui donnent la division de la lemniscate en 2" -t- 1 parties gales. (Crelle , Journal 



fiir die reine und angewandte Mathematik. Zehnter band , p. 172.) 



(2) Except pourtant pour la division en trois parties gales qui s'effectue d'ailleurs im- 

 mdiatement. 



(3) Creixe, Journal fiir die reine und angewandte Mathematik. Zehnter band, p. 171. 



(4) Dans son article, M. Liouville dit : Pour pouvoir appliquer le thorme de la 

 Note IV, il aurait fallu, je le rpte, montrer que la totalit des racines de l'quation 

 rsoudre peut tre comprise dans un groupe unique x, <p (x), epi(ar) , . . . , ?_, {&) ; or c'est 

 ce que M. Libri ne/ait pas, et pour cause. On voit que la cause de cette omission est fort 

 lgre , puisque les facteurs que l'on cherche se dterminent avec la plus grande facilit. 



