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devait tre rejete comme reposant sur un lemme inexact : le lemme est vrai 

 et la dmonstration est rigoureuse. M. Liouville est tomb dans des erreurs 

 graves lorsqu'il a voulu critiquer ce lemme. 



5. En affirmant que je n'avais pas prouv que les quations relatives 

 la lemuiscate doivent tre ranges, pour les cas que j'avais considrs, dans la 

 classe des quations qui se rsolvent toujours par des radicaux, M. Liou- 

 ville a montr que dans l'quation finale il ne pouvait pas sparer des autre* 

 racines celles qui ont entre elles un rapport rationnel donn, quoique ce 

 soit l une question des plus simples et des plus lmentaires de l'algbre. 



6. Enfin, mon adversaire a montr dans ses critiques qu'il ne s'tait pas 

 suffisamment appliqu la thorie des quations, thorie qu'il faut connatre 

 fond lorsqu'on veut discuter des questions aussi dlicates. S'il l'avait fait, 

 comme on tait en droit de l'attendre de lui, il se serait pargn la peine de 

 proclamer qu'il y avait de graves erreurs l o il n'aurait d rencontrer que 

 des difficults lmentaires. >< 



Rponse de M. Liouville. 



L'Acadmie pense bien que je n'ai nullement envie de rpondre en d- 

 tail aux assertions inexactes de toute nature dont la Note de M. Libri est 

 remplie. La plupart (mme celles qu'on a revtues d'une forme prtendue 

 mathmatique) tombent au-dessous de toute rfutation. D'autres pourraient 

 au plus tromper ceux qui n'ont pas suivi ces dbats. Est-il ncessaire, par 

 exemple, de faire observer des confrres qui m'ont entendu, qu' aucune 

 poque de la discussion mes opinions n'ont t ni n'ont pu tre modifies; 

 que je n'ai pas cess un instant d'tre d'accord avec moi-mme en m'expri- 

 mant de vive voix ou en crivant dans le Compte rendu? Ce que j'ai dit, 



quelconque dans l'quation yfx, j)=o, le rapport de deux racines serait une fonction entire ? 

 M. Liouville combat ici une opinion qui n'est pas la mienne. J'ajouterai que, sans recourir 

 des auteurs anglais dont on a oubli le nom , tout le monde doit savoir qu'en admettant 

 la possibilit de rsoudre sous leur forme la plus gnrale les deux quations simultanes 

 y(x ,f) = o , <f(y , x) = o, [mme en ngligeant le facteur o(ar. x)] , on parviendrait rsou- 

 dre les quations de tous les degrs. Pourquoi M. Liouville a-t-il dit qu'il dduirait de 

 Yquation restante la rsolution d'une quation trinme relative au cinquime degr , et n'a- 

 t-il pas vu tout de suite que la rsolution gnrale des quations se dduirait de la proposition 

 sans aucune restriction qu'il m'attribue mal propos? Je terminerai cette Note en faisant remar- 

 quer qu'en disant dans son article que j'ai appliqu aux fonctionsirrationnelles des oprationsqui 

 n'ont de sens que pour des fonctions rationnelles, M. Liouville semble oublier que ma propo- 

 sition s'applique , dans un grand nombre de cas , des fonctions irrationnelles. J'espre bientt 

 prsenter l'Acadmie un travail spcial sur ce sujet. 



