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pas encore, mme dans ce cas, donn cette intgrale la forme si simple et 

 si lgante qu'elle est susceptible de prendre. 



Je me propose d'appliquer cette quation les principes dont- M. Liou- 

 ville a enrichi l'analyse dans ses beaux Mmoires sur le calcul des diffren- 

 tielles indices quelconques (*). Ces principes fournissent de suite l'int- 

 grale complte de l'quation (i) sous une forme qu'il serait, je crois, 

 impossible de dcouvrir autrement. On trouvera ainsi une vrification nou- 

 velle de cette phrase du clbre auteur de la mthode : Ces expressions 

 > (les drives indices quelconques), dont il est ais de fixer avec clart le 

 sens vritable , ne sont pas seulement curieuses tudier sous le rapport 

 mathmatique et purement spculatif. Leur reprsentation existe dans la 

 i nature, et l'on peut citer des questions de gomtrie et de physique o 

 leur usage est amen sans effort et parat mme indispensable (**). 



Dans le Mmoire insr au XXI e cahier du Journal de l'cole Poly- 

 technique, p. i63, M. Liouville a montr le premier comment on pouvait 

 appliquer avec fruit le calcul des diffrentielles indices quelconques, ' 

 l'intgration des quations diffrentielles. Sa mthode consiste regarder la 

 fonction que l'on cherche comme la drive indice quelconque d'une fonc- 

 tion plus simple, et profiter de l'indtermination de cet indice pour simplifier 

 l'quation transforme. Cette mthode russit dans un grand nombre de cas- 

 mais dans beaucoup d'autres, avant de l'appliquer, il est ncessaire de faire 

 subir aux quations des transformations convenables. On verra , dans ce qui 

 va suivre , en quoi consistent ces transformations. Toutefois , avant d'entrer 

 dans l'exposition de la mthode, je dirai en peu de mots comment j'ai t 

 conduit cette recherche. 



IF: 



Dsignons par y la valeur de l'intgrale dfinie / -, ^^r, dot. ; 



M. Catalan et moi (***), nous sommes parvenus par des voies diffrentes 

 montrer que cette intgrale peut tre obtenue sous forme finie lorsque 

 est un nombre entier, et j'ai fait voir, en outre, que la formule donne par 

 M. Catalan a encore lieu pour les valeurs fractionnaires de n. 



La mthode suivie par M. Catalan repose sur ce que y satisfait une 



(*) Journal de t 'cole Polytechnique, xx e et xxi e cahiers. 

 (**) Journal de l'cole Polytechnique, xxi cahier, p. 2. 

 (***) Journal de Mathmatiques pures et appliques, t. V, p. 110; t. VIII, p. 20. 



