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D'aprs cela, l'intgrale indice (p-{- i) du premier membre de l'qua- 

 tion (6) sera 



je 



x + 2(xx6 -+- (an p 1)0 4- aju,(ra /> i)fQdx. 

 Si donc on dsigne par & la fonction la plus gnrale qui satisfait l'quation 



rfx/^-' ' 



on aura 



x -r- + 2/xr0-t- (in p i)0 4- 2p.{n p i)fQdx = ty; 



si l'on pose maintenant p = n i, le terme /0d.r disparatra, et l'quation 

 en 9, rduite au premier ordre , deviendra 



(7) *2+(2f^ + )0 = t : 



la fonction ^ satisfait l'quation 



et la valeur de z sera donne en mme temps que celle de 0, au moyen de la 

 simple formule 



Z = 



dx"- 



La fonction complmentaire i|/ est nulle si n est entier et ngatif; elle renferme 

 constantes arbitraires si n est entier et positif; dans tout autre cas elle en ren- 

 ferme un nombre arbitraire , mais limit : au surplus , nous n'avons pas nous 

 occuper ici de cette question. 



La supposition de ij> nul dans l'quation (7) ne fera qu'altrer la gn- 

 ralit de la valeur de , mais cela importe peu , puisque nous n'avons besoin 

 que d'une valeur particulire de z. 



Si donc on fait i|> = o, l'quation (7) devient 



dQ 



(8) x^ + (ajxr + n) = o, 



ou 





