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VIII. 



Avant d'examiner le cas de n ngatif, il est ncessaire de rappeler une 

 formule importante due M. Liouville (*), et qui sert transformer une 

 intgrale indice positif, mais quelconque, en intgrale dfinie. 



Cette formule est la suivante : 



(16) J P f{x)dxP m [gfrjfffi X ^ x + u ^ u "~ {du - 



L'exactitude de cette formule exige que la fonction cj>(x) s'annule pour 

 x = oo, ou, en d'autres termes, que le dveloppement de <p(x) en srie d'ex- 

 ponentielles VA a e z ne renferme que des exposants ngatifs ou de la forme 



a -4- %\l i, a tant une quantit ngative. 



Il existe toutefois une formule analogue la prcdente et qui donne 



le moyen de transformer I cp (x)dx p , lorsque la fonction <p(x) s'annule pour 

 x = co , ou que son dveloppement en srie d'exponentielles ne renferme 

 que des exposants positifs ou de la forme a -+ $ij i, a tant une quantit 

 positive. 



Soient donc 



f(x) = ^e"* 

 et 



f[x u)u f ~ t du, 

 on aura 



ou, en intgrant sous le signe ^ 



X = ^ K^ H e^uf-'du. 

 Or, a tant positif, 



re-u^du = T ^; 



t/O aP 



(*) Journal de l'cole Polytechnique , xxi e cahier, p. 8. 



