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 donc 



x = *P)Irzr = t (p) /'**>**'; 



et, en remettant au lieu de X sa valeur, 



(i 7 ) fit*)***' = r(J) jfV ~ u)u^du. 



Cette dmonstration est peu prs la mme que celle que M. Liouville a 

 donne de l'quation (16). 



Il ne faut pas oublier que les formules (16) et (17) n'ont lieu, la pre- 

 mire, que si f{ 00 ) = o , et la deuxime, que si <p( oc) = o. 



IX. 



Examinons maintenant la forme de l'intgrale gnrale de l'quation (1) 

 quand n est ngatif. Si l'on change n en /z, les quations (1) et (11) de- 

 viennent 



/ 1 \ d^y in dy 



( ibls ) i-TlL- m r = ' 



(11 bis) j = Ae !iX f" + l *&(tor** . 



L'quation (1 1 bis) fait connatre deux intgrales particulires de l'quation 

 (1 bis) correspondantes aux deux valeurs de p., et par suite l'intgrale 

 gnrale. 



Supposons m positif, et remplaons successivement ju. par + ym et 

 \jm dans l'quation (1 1 bis); on aura, pour l'intgrale gnrale de l'qua- 

 tion (1 bis), 



(18) y = Ae*'" f "~ 1 ~V !, * t ''";r"cfcc n+, + Ber*** * , &* v "x*dbc+*, 



A et B dsignant deux constantes arbitraires. 

 Or, en vertu des formules (16) et (17), on a 



f " +1 e- ix,/ " 1 afdx"^ = -, i-. . rV-a<*+) ( x + u ) n u n du , 



f"*' e^S^^' =-fi r r C e* x -*> /5 (a:- u)"u"du, 



