( 47o ) 



et l'quation (18) devient, en mettant simplement A et B au lieu de 

 A B 



(_,)+' r( -f- i)' T(n+ i)' 



(19, y=Ae- x,/rn rV 2 "^-*' + u) n u"du + Be*'* V 2u/ "(^ - u)"u n du. 



Telle est l'intgrale gnrale de l'quation (1 bis) dans le cas de n positif. Les 

 deux intgrales dfinies qui y entrent ne deviendront jamais infinies, mme si 

 m est ngatif; mais il est vident que, dans ce cas, les formules (16) et (17) 

 cessent d'avoir lieu, et l'quation (19) ne reprsente plus l'intgrale gnrale 

 de l'quation ( 1 bis). 

 Si n = 1 , on trouve 



y == kc- x ^{x \/m + 1 ) -+- &*** (x S ro - 1 ) ; 



si n = 2, 



y = Ae~ xV "' (rnx 2 -4- 3.r $m + 3 ) -f- Be x,/ '" (rax 2 - 3x *f + 3 ), 



valeurs qu'il est ais de vrifier directement. 



En gnral , on voit que la valeur de y s'obtiendra sous forme finie 

 toutes les fois que n sera un nombre entier. 



La substitution dans l'quation (1 bis) de la valeur de y, fournie par 

 l'quation (i3), s'effectue trs-simplement; mais cette vrification n'a lieu, 

 ainsi que nous l'avons prvu, que si \Jm est rel ou au moins de la forme 

 a -f- \/ 1, a n'tant pas nul. 



X. 



Il nous reste montrer comment on obtiendra l'intgrale de l'quation 

 (1 bis), dans laquelle on suppose m ngatif. 

 n Si l'on y cbange m en m, elle devient 



d 7 y in dy 

 dx' x dx 



(< te ') dxT--r-Tx + m y=- 



Or. si dans cette dernire on met -== au lieu de x, on obtient prcis- 



V 1 

 ment l'quation (1 bis) que nous venons d'intgrer; on obtiendra donc l'in- 

 tgrale complte de l'quation (1 ter) en mettant x \jr 1 au lieu de x dans 



