( 4 7 3 ) 

 comme indices de diffrentiation , s'ils sont entiers et positifs. Si l'on veut se 

 borner ce cas particulier, on se prive d'un des plus puissants moyens ana- 

 lytiques, on dtruit la gnralit des rsultats, en renonant gratuitement 

 cette admirable loi de la continuit qui fait le fondement de la vritable 

 analyse. 



Nous citerons un exemple clbre l'appui de cette assertion. 



.i- 

 XIV. 



Si l'on dveloppe la fonction (i zrx -+- r 2 )~^, suivant les puissances 

 entires et positives de r, le coefficient X de r* sera une fonction rationnelle 

 et entire de x, qui satisfait, comme on sait, l'quation diffrentielle 



d'y dr 



(21) (1 - x*)^- ix-+ n(n + i)y = o. 



D'aprs cela, n tant entier, on sait encore, et il est facile de le vrifier, que 

 l'intgrale gnrale de l'quation prcdente sera 



' = x .[ a - b /,7^x;} 



cette valeur de y suppose ncessairement n entier et positif, mais la forme 

 que M. Rodrigues a donne de l'intgrale complte de l'quation (21) est tout 

 fait l'abri de cette particularisation (*). 

 ai 1 on pose 



arm 

 y = P\ 



l'quation (21) devient 



. *xdP +, 9 dPQ , ,dP6 



et, en prenant l'intgrale de l'ordre (p -h 1), 



(1 a: a )^ -+- ipxQ 4- [p(p -+- 1) n(n-\- \)}j$dx = (f, 



(*) L'quation (21) rentre immdiatement dans la classe d'quations que M. Liou ville a 

 tudie , xxi e cahier du Journal de l'cole Polytechnique. 



62.. 



