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des plus savants gomtres dont la France s'honore, M. Legendre, a adopt, 



comme je l'ai dj dit, ce mme lemme dans la dernire dition de sa Thorie 



des nombres. Toutes les expressions de blme dont M. Liouville s'est servi 



mon gard propos de ce lemme retombent donc sur M. Legendre. Le nom 



et l'autorit de ce gomtre clbre devaient, ce me semble, inspirer 



quelque rserve, quelque mfiance mme mon adversaire, qui, avant de 



proclamer si hardiment la fausset du lemme dont il est question, aurait d 



s'appliquer en comprendre parfaitement le sens. Les personnes les moins 



exerces en ces sortes de matires sentiront que, puisque j'ai l'honneur de me 



trouver d'accord sur ce point avec M. Legendre, les prsomptions sont de 



mon ct, et qu'il ne faut pas croire lgrement aux assertions deM. Liouville. 



Mais enfin ce lemme que nous avons employ , M. Legendre et moi , est-il 



inexact comme on l'avance? Nullement. Dans sa critique M. Liouville a prouv 



uniquement qu'il ne s'tait pas donn la peine d'tudier assez cette question , 



et qu'il avait cru reconnatre une erreur l o il avait t arrt par une petite 



difficult. 



Contre ce lemme, M. Liouville a oppos d'abord des arguments thori- 

 ques, et il a voulu ensuite montrer par un exemple l'inexactitude de mon 

 analyse. Il sera facile de rpondre ces deux genres d'objections. 



Dans la sance du 21 aot dernier, M. Liouville a dit en propres ter- 

 mes : // n'est donc pas prouv que les puissances d'une mme racine puissent 

 toujours s'exprimer par des fonctions linaires des autres racines. J'ajoute 

 qu'on peut aisment fournir des exemples o le contraire a lieu (1). Ce pas- 

 sage , que j'avais dj signal dans ma premire rponse M. Liouville , et sur 

 lequel j'avais annonc queje reviendrais, renferme une des plus graves erreurs 

 thoriques qu'il soit possible d'imaginer. L M. Liouville affirme en effet : 

 qu'une puissance quelconque d'une racine, ou, en d'autres termes, qu'une 

 quantit quelconque tant donne, il sera, dans quelques cas, impossible 

 d'exprimer cette quantit en fonction linaire des autres racines; c'est--dire 

 que, suivant lui, il serait parfois impossible de former une quantit quel- 

 conque par la somme d'un nombre dtermin d'inconnues mulliplies cha- 

 cune par des coefficients donns. Ce que M. Liouville proclame dans certains 

 cas faux et impossible , est une des vrits les plus incontestables de l'Algbre. 

 J'avais donc raison de dire ce sujet, dans ma rponse, qu'il y avait ici une 

 trange confusion d ides . Tous ceux qui connaissent les lments des math- 



(1) Voyez le Compte rendu de la sance du 21 aot i843, p. 33a et 333. 



