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matiques comprendront la gravit de la mprise de M. Liouville sur un 

 des principes les plus simples et les plus connus de la thorie des rapports que 

 des quantits quelconques peuvent avoir entre elles. Outre les objections 

 thoriques, M. Liouville a insr dans les Comptes rendus un exemple qui, 

 son avis , prouve que le lemme employ par Legendre et par moi est compl- 

 tement faux. Par cet exemple, M. Liouville a voulu faire voir qu'il est inexact 

 de dire que les puissances d'une des racines de la propose peuvent toujours 

 s'exprimer en jonction linaire des autres racines (i). D'aprs les remarques 

 si simples que je viens de prsenter sur ce point de doctrine , il est vident 

 que l'exemple choisi par M. Liouville ne saurait nullement infirmer une vrit 

 si solidement tablie. Les personnes qui voudront examiner cet exemple re- 

 connatront en effet qu'il n'a aucun rapport avec la question , et que non- 

 seulement il ne prouve rien contre moi , mais que c'est uniquement pour avoir 

 mal compris les principes de mon analyse que M. Liouville a pu croire que cet 

 exemple si pompeusement annonc tait en contradiction avec le lemme dont 

 il s'agit. Que prouve, en effet, l'exemple de M. Liouville? Il montre que si le 

 lemme tait admis, il y aurait une quation du second ou du troisime de- 

 gr (et non pas du troisime seulement, comme l'affirme mal propos mon 

 adversaire), qui devrait exister en mme temps que l'quation propose. Or, 

 quelle contradiction y a-t-il en cela? et ne sait-on pas qu'une quation quel- 

 conque pourrait, si l'on savait la rsoudre, se dcomposer en facteurs de 

 degrs infrieurs ? Il est vrai que, dans sa dernire communication l'Acad- 

 mie, M. Liouville ajoute que les coefficients de l'quation du troisime degr 

 sont rationnels. Mais ces deux mots , qui apparaissent ici pour la premire 

 fois, et qui semblent destins cacher l'erreur thorique que je viens de si- 

 gnaler dans le premier article de M. Liouville, renferment une supposition 

 gratuite , et. prouvent que mon adversaire n'a pas eu soin de se rendre bien 

 compte des principes quej'avais employs. Lorsqu'on dit qu'une fonction alg- 

 brique d'une variable est rationnelle , on veut entendre que la variable qu'elle 

 contient, en termes finis, ne se trouve renferme d'une manire irrductible et 

 invitable sous aucun signe radical ; mais rien n'empche que les coefficients 

 des deux polynmes finis , qui forment gnralement le numrateur et le d- 

 nominateur d'une fonction rationnelle quelconque, ne soient eux-mmes des 

 quantits irrationnelles. Cela est si vrai , qu'on peut donner ces coefficients 

 une forme algbrique indtermine , sans que la fonction cesse pour cela 

 d'tre rationnelle. En supposant donc que les coefficients des polynmes, qui 



(r) Voyez le Compte rendu de la sance du 4 septembre i843, p. 44^- 



