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 expriment les valeurs des diverses racines dveloppes eu une srie finie par 

 les puissances ascendantes d'une racine prise volont, doivent tre ration- 

 nels, M. Liouville a restreint, d'une manire tout fait inopportune, l'nonc 

 d'une proposition qu'il avait eu l'intention de gnraliser; et il s'est en mme 

 temps priv du moyen de comprendre la dmonstration, et de s'assurer de 

 la vrit du lemme qu'il a critiqu. La mprise de M. Liouville provient d'une 

 hypothse errone qu'il a faite, et d'aprs laquelle, dans les quations que 

 j'ai rsolues , les diffrentes racines ne pourraient s'exprimer en termes finis 

 par les puissances dune d'entre elles qu' l'aide du dveloppement actuel et 

 immdiat de la fonction rationnelle qui reprsente le rapport de deux racines 

 conscutives; tandis qu'au contraire, tout polynme del mme forme qui ^ert 

 exprimer une racine quelconque l'aide d'un certain nombre de puissances 

 entires et positives d'une des autres racines , conduira au but sans qu'on doive 

 s'arrter considrer si les coefficients de ces diverses puissances sont oui ou 

 non rationnels. On comprend facilement qu'il n'est pas mme ncessaire , pour 

 la dmonstration dont il s'agit, que ces coefficients soient connus, puisque, 

 aprs les liminations et les substitutions, il ne doit rester, dans l'expression des 

 racines de l'quation rsolvante, que des quantits qu'on dtermine immdia- 

 tement. Voil donc le lemme en question tabli rigoureusement, et voil 

 pourquoi l'exemple l'aide duquel M. Liouville avait tent de montrer l'inexac- 

 titude de ce lemme ne prouve rien ; car par cet exemple M. Liouville u'a fait 

 que dmontrer l'exactitude d'une supposition errone qui lui appartient ex- 

 clusivement, et laquelle je suis compltement tranger. Si l'exemple an- 

 nonc avec tant d'apparat pouvait servir quelque chose, il montrerait seu- 

 lement que, lorsqu'on limine les inconnues entre un nombre donn d'qua- 

 tions linaires coefficients numriques, la valeur d'une ou de plusieurs 

 inconnues peut se prsenter, dans certains cas, sous la forme de zro divis 

 par zro. Il n'tait peut-tre pas absolument ncessaire que M. Liouville prt 

 la peine de faire un calcul algbrique pour prouver une vrit de cet ordre-l. 



Je pourrais prsenter beaucoup d'autres remarques sur l'exemple donn 

 par M. Liouville; mais, aprs avoir montr qu'il n'a en rien affaire la ques- 

 tionne craindrais d'abuser des moments de l'Acadmie si je m'arrtais da- 

 vantage sur ce point. Mieux vaut examiner rapidement ce que M. Liouville a 

 dit au sujet de ma manire de rsoudre les quations relatives la division 

 de lalemniscate. 



M. Liouville croit que ma mthode ne saurait tre applique avec succs 

 la rsolution gnrale de ces quations. Si l'on doit faire, dit-il, un nombre 

 donn d'liminations pour former l'quation finale, on aura dans celle-ci plu- 

 sieurs priodes distinctes, chacune desquelles sera compose d'uu nombre de 



