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racines gal au nombre d'quations entre lesquelles on a d liminer : pour r- 

 soudre donc compltement l'quation propose, il faudra traiter une quation 

 auxiliaire d'un degr qui, en gnral, sera assez lev. Ici M. Liouville est encore 

 dans l'erreur: le nombre des racines qui composent chaque priode n'est nul- 

 lement dtermin par le nombre des liminations qui servent former l'- 

 quation qu'on doit rsoudre, car ces oprations indiquent la manire de 

 former l'quation, et. non pas celle d'tablir les priodes. Comme ces limi- 

 nations , dans le cas , par exemple , o la division s'opre par la rgle et le 

 compas , se rduisent toujours deux , il en rsulterait que si ce que dit 

 M. Liouville tait vrai, toutes les priodes pour cette classe d'quations se 

 composeraient de deux seules racines, ce qu'il ne voudrait pas certainement 

 affirmer. Il serait facile aussi de faire diverses combinaisons analytiques d'a- 

 prs lesquelles , si les remarques de M. Liouville taient exactes , les diff- 

 rentes priodes ne renfermeraient plus un nombre dtermin de racines; ce 

 qui est contraire toute ide de priode irrductible. En introduisant une 

 considration analogue celle des racines primitives, il est ais de montrer, 

 l'aide des principes employs depuis longtemps par M. Gauss et connus de 

 tous les gomtres , que les priodes se composent d'un bien plus grand 

 nombre de racines que ne le pense M. Liouville. On voit de plus facilement 

 qu'entre les racines des diffrentes priodes considres d'une manire trop 

 restreinte par M. Liouville, il existe des relations qui permettent de rsoudre 

 le problme. Il faut seulement avoir grand soiu, comme je l'ai dj dit ail- 

 leurs, de dlivrer l'quation de tous les facteurs rationnels qu'elle contient. 

 L'tude de ces facteurs est fort intressante; elle conduit des rsultats cu- 

 rieux. J'ajouterai ici que non-seulement ces principes peuvent donner la 

 rsolution des quations quej avais traites dans le Mmoire de 1 83o,mais qu'ils 

 ouvrent la voie pour rsoudre gnralement par les radicaux les quations d'o 

 dpend la division de la lemniscate en un nombre premier quelconque de 

 parties. 



Cette rfutation ne serait pas complte si, aprs avoir rpondu aux deux 

 objections que M. Liouville a insres dans sa dernire Note, je ngligeais uu 

 reproche qu'il m'a adress la sance. Dans la discussion verbale laquelle 

 il s'est livr, M. Liouville s'est plaint que je n'eusse pas cit le gomtre qui 

 avait critiqu ses travaux. Je ne croyais pas qu'on pt me reprocher la 

 rserve que j'avais montre en cette occasion. Bien que M. Liouville soit all 

 chercher plusieurs reprises hors de France des armes contre moi, je pensais 

 que je devais me borner repousser ses attaques; mais, puisqu'il l'exige, je 

 ; dirai que la critique laquelle j'avais fait allusion se rencontre dans un Rapr- 



