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M. Liouville de recevoir mes sincres remercments pour les formes qu'il a 

 adoptes dans cette discussion. 



Rponse de M. Liouville. 



Un mot d'abord sur les diffrentielles indices quelconques. Je n ai 

 connu les critiques de M. Peacock qu'aprs avoir lu la rponse , mon avis 

 trs-suffisante, qu'on y avait faite en Angleterre mme. Il m'a paru ds lors 

 peu ncessaire de les rfuter de nouveau. Revenir l-dessus aujourd'hui serait 

 bien plus inutile encore , puisque depuis cette poque d'habiles gomtres 

 m'ont amplement justifi , en suivant mes principes et en employant mes 

 formules pour la solution d'intressants problmes. M. Libri veut-il cependant 

 rajeunir, en les dveloppant sa manire et pour son propre compte, celles 

 des objections de M. Peacock dont il croira la dfense possible? Qu'il le fasse; 

 j'entrerai volontiers avec lui dans cette nouvelle discussion. 



Mais, auparavant, vidons celle qui nous occupe. J'ai dit qu' la page 1 77 

 du tome X du Journal de M. Crelle , M. Libri pose des quations du premier 

 degr, l'aide desquelles il veut exprimer toutes les puissances d'une des 

 racines d'une certaine quation en fonction linaire des autres racines. Ces 

 quations tant du premier degr , les coefficients de la fonction linaire ne 

 peuvent s'exprimer que rationnellement au moyen de ceux de ces quations 

 elles-mmes. Si l'on part de X* + fac* + 2 =0, auquel cas la liaison entre 

 deux racines successives , x, , x , est exprime par 



2 *y 



> 4 - *A* I - ' \JxA/ UL . 



X ' 



il n'entrera dans le calcul que des quantits rationnelles proprement dites. 

 Les coefficients a, b, c, dont j'ai parl la page 446 du Compte rendu , 

 seront donc aussi rationnels, et il sera absurde d'admettre que x puisse sa- 

 tisfaire l'quation du troisime degr 



x 3 = ax* 4- b(x 2 + a) -t- ex, 







a laquelle les principes de M. Libri conduiraient infailliblement. J'ai donc 

 eu raison d'avancer que le lemme dont M. Libri fait usage l'endroit cit es* 

 un lemme inexact. L'exemple indiqu prouve cela on ne peut mieux. 



Quant la solution par radicaux des quations relatives la lemniscate. 



