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tioa relative la forme du diviseur dans le Mmoire de i8a5; l'annonce em- 

 prunte pour ainsi dire l'ouvrage de M. Gauss tait gnrale. Mais pour le cas 

 mme auquel il s'est rduit, je ne puis accorder que M. Libri ait rien donn 

 de satisfaisant. Les quations qu'il a considres se rsolvent par radicaux ; 

 cette proposition est incontestable; mais c'est dans les ouvrages d'Abel et non 

 dans ceux de M. Libri qu'il faut en chercher la dmonstration. 



Aprs avoir entendu la rponse verbale de M. Liouville, M. Libri prend 

 la parole et s'exprime peu prs en ces termes : 



Je ferai d'abord remarquer que dans aucun endroit du Mmoire qu'on 

 a cit, je n'ai dit que les coefficients des polynmes finis, qui servent ex- 

 primer les diffrentes racines par les puissances entires et positives d'une 

 d'entre elles, fussent rationnels. Le contraire doit tre expressment en- 

 tendu (comme je viens de le rappeler tout l'heure) afin de donner la pro- 

 position toute la gnralit qu'elle comporte, et d'tablir la dmonstration sur 

 des bases solides. Je nie vois dans l'obligation de dclarer encore une fois que 

 dans sa critique M. Liouville s'est appuy sur une hypothse errone qu'il 

 m'attribue et laquelle je suis compltement tranger. Dans les exemples 

 qu'il a choisis, M. Liouville n'a fait que dmontrer que son hypothse tait 

 inadmissible. Ces exemples ne prouvent donc rien contre moi. 



Quant aux quations relatives la lemniscate, aprs avoir montr 

 comment on pouvait, par la rgle et le compas, diviser en cinq parties gales 

 le primtre entier, l'aide des quations que j'avais tires des principes poss 

 par Fagnani, j'ai dit qu'on pouvait dduire de mon analyse la rsolution gn- 

 rale des quations que j a vais donnes et d'o dpend la di vision en parties gales 

 de cette courbe. Cela est clair pour tous ceux qui connaissent les recherches 

 de Fagnani et d'Euler sur ce sujet, et qui savent comment on peut appli- 

 quer ces quations les proprits des racines primitives que M. Gauss a si 

 heureusement introduites dans la thorie des quations circulaires. Il suffira, 

 cet effet, de se rappeler que dans la lemniscate la corde d'un arc quel- 

 conque tant donne, on peut exprimer rationnellement, en fonction de cette 

 corde, la corde d'un autre arc qui est un multiple impair du premier. Quoi 

 qu'il en soit, si mes principes pouvaient offrir quelque difficult dans les ap- 

 plications numriques, il ne s'ensuivrait nullement qu'ils fussent inexacts. 

 Dans tous les cas, je prierai M. Liouville de ne pas se charger de faire un 

 commentaire mon travail, car il a prouv qu'il ne s'y prenait pas conve . 

 nablement pour tablir dans les quations les priodes qui doivent conduire 

 la connaissance des racines. 





