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fonction inconnue du problme, avec la gnralit que comporte l'ordre de 

 l'quation, et sous une forme explicite; et en cela parfaitement analogue 

 l'intgrale de l'quation linaire du premier ordre, que l'on doit aux pre- 

 miers travaux de Lagrange : ces formules n'exigent plus que de simples 

 oprations d'algbre sur des quantits primitivement donnes ; elles permet- 

 tent d'valuer d'avance le nombre des termes de la formule dfinitive , et de 

 saisir clairement la loi principale de sa composition. On sent bien que la 

 complication doit s'accrotre avec l'ordre de l'quation, et, ds le second 

 ordre , l'espce de composition qui se prsente a un caractre bien diffrent 

 des combinaisons que Lagrange a trouves pour le premier ordre; nan- 

 moins une relle analogie se manifeste dans tous les ordres. 



Une question intressante d'optique a conduit dans les derniers temps 

 M. Biot et M. Gauss faire sentir l'utilit d'une solution explicite pour l'qua- 

 tion linaire du second ordre. M. Biot est parvenu composer une semblable 

 expression pour l'intgrale de l'quation du problme qu'il traitait; selon 

 l'opinion de l'auteur, la loi de songrsultat dpend expressment de la forme 

 spciale des quations de la question d'optique. M. Gauss a eu recours un 

 symbole particulier propos par Euler , pour faciliter l'tude des proprits 

 des fractions continues; et il montre comment s'en dduit la solution de ses 

 quations linaires diffrences finies. On ne peut mconnatre que l'usage 

 de ce symbole permettrait de rsoudre explicitement l'quation linaire 

 du second ordre, ainsi que M. Terquein l'avait remarqu (tome IV e du 

 Journal de M. Liouville) : mais la composition de cette fonction, qui a sou- 

 vent occup les analystes pour en dcrire la loi, demeure jusqu' prsent 

 fort complexe. Ce symbole ne fournit, au reste, aucune ouverture pour 

 traiter les quations du troisime ordre ou d'un ordre plus lev. 



Antrieurement aux recherches que je viens de citer, M. Libri avait 

 donn une mthode pour former une expression de l'intgrale de l'quation 

 linaire : son principe consiste transformer l'quation d'un ordre dter- 

 min, par exemple du second ordre, en une autre quation linaire 

 dont l'ordre dpendra de la grandeur mme de la variable indpendante. 

 Dans cette vue, M. Libri ajoute l'quation des termes affects de cer- 

 taines fonctions discontinues qui les font ncessairement disparatre: l'- 

 quation tant ainsi prpare, quant sa forme, l'auteur en dduit l'expres- 

 sion de l'inconnue, l'aide d'une formule qu'il avait employe prcdemment 

 d'autres recherches, et qui exige plusieurs sommations excuter successi- 

 vement entre des limites prescrites. Cette inconnue renferme , en apparence, 

 les fonctions discontinues introduites, et l'application des valeurs num- 





