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riques de la variable demande une discussion qui doit ne laisser subsister 

 dans le rsultat, que des combinaisons des coefficients de l'quation linaire 

 propose, o l'on aura substitu les nombres o, i, 2, 3,..., jusqu' la grandeur 

 numrique donne de la variable. C'est alors que la formule dfinitive sera 

 dlivre de ce qui avait t introduit pour changer la forme de l'quation 

 primitive : cette opration deviendra pnible si la variable est un nombre 

 un peu considrable. J'ai pens que les analystes pouvaient encore souhaiter 

 pour ce problme important dans la thorie des suites, et qui a beaucoup 

 occup Laplace, une mthode o l'on ne ferait immdiatement usage que 

 des seuls coefficients de l'quation intgrer, et des grandeurs qu'ils fournis- 

 sent quand on les rapporte aux valeurs particulires de la variable principale. 

 Cette mthode repose sur des proprits de certaines combinaisons que je 

 vais dfinir, d'abord, pour le cas le plus simple : c'est celui qui rpond 

 l'intgrale des quations du second ordre. 



Dans la srier,, r a , r 3 ,..., r, les lettres sont supposes invariablement 

 ranges selon l'ordre ascendant des indices 1, 2,..., n: aprs avoir form la 

 somme de toutes les combinaisons ou produits diffrents de ces lettres, ou 

 le produit 



(1 + r,)(i +r 2 )...(i +r), 



on effacera toutes les combinaisons o deux indices sont des nombres cons- 

 cutifs; cette somme de combinaisons de n lettres, qui ne sont jamais con- 

 tigus dans la srie propose , est une fonction algbrique particulire qui 

 jouit de proprits remarquables , que je traite dans la premire partie du 

 Mmoire. Si, par exemple, les lettres sont au nombre de quatre, r,, r a , 

 r r*, la somme des combinaisons discontigus qu'elles fourniront sera 



1 -+- r, -+- r 2 H- r 3 + r 4 -+- r, r 3 -t- r, r, -+- r a r A ; 



pour cinq lettres on aurait cette somme de combinaisons discontigus, 



14- r, + r a -+- r 3 + r 4 + r 5 + r, r,+ r, r 4 + r i r i + r^^ r 2 r 5 + r 3 r 5 + r, r 3 r\. 



Ces combinaisons discontigus peuvent provenir d'une srie partielle 

 r mi f m +i > > r n-\ 1 t'n ', leur somme tant dnote par G (m, n), sera donc 



1 "r - r m -+- r m+t +...+ r+ r m r m+i -+- r m r m+i +- etc. -+- r m r m+2 r m+ 4.. .. 



Or on tablit cette premire relation entre trois groupes G (m, n), 



G (m, n 1), G (m, n 2), t 



(1) G (m, n) = G (m, n 1) -+- r G (m, n 2); 



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